Існує ортогональна матриця, коли зазначена матриця, помножена на її транспозицію, призводить до ідентичності матриці. Якщо обернена матриця дорівнює транспозиції, то вихідна матриця є ортогональною.
Ортогональні матриці мають характеристику, що кількість рядків дорівнює кількості стовпців. Крім того, рядкові вектори є одиничними ортогональними векторами, а також вектори транспонування рядків.
Малюнок 1. Приклад ортогональної матриці та способу її перетворення геометричних об'єктів. (Підготував Рікардо Перес)
Коли ортогональна матриця множиться на вектори векторного простору, вона виробляє ізометричне перетворення, тобто перетворення, яке не змінює відстані і зберігає кути.
Типовим представником ортогональних матриць є матриці обертання. Перетворення ортогональних матриць на векторному просторі називають ортогональними перетвореннями.
Геометричні перетворення обертання та відображення точок, представлених їх декартовими векторами, здійснюються шляхом застосування ортогональних матриць на вихідні вектори для отримання координат перетворених векторів. Саме з цієї причини ортогональні матриці широко використовуються в обробці комп’ютерної графіки.
Властивості
Матриця M є ортогональним , якщо помножити на транспонованою M T дає в результаті одиничної матрицю I . Аналогічно, добуток транспозиції ортогональної матриці оригінальною матрицею призводить до отримання матриці ідентичності:
MM T = M T M = I
Як наслідок попереднього твердження, ми маємо, що транспозиція ортогональної матриці дорівнює її оберненій матриці:
M T = M -1 .
Сукупність ортогональних матриць розмірності nxn утворюють ортогональну групу O (n). А підмножина O (n) ортогональних матриць із визначником +1 утворює Групу унітарних спеціальних матриць SU (n). Матриці групи SU (n) - це матриці, які виробляють лінійні перетворення обертання, також відомі як група обертів.
Демонстрація
Ми хочемо показати, що матриця є ортогональною, якщо і лише тоді, коли векторії рядків (або вектори стовпців) ортогональні один одному і мають норму 1.
Припустимо, що рядки ортогональної матриці nxn є n ортонормальними векторами розмірності n. Якщо його позначають v 1 , v 2 ,…., V n до n векторів виконується:
Там, де очевидно, що дійсно множина векторів рядів - це сукупність ортогональних векторів з нормою один.
Приклади
Приклад 1
Покажіть, що матриця 2 х 2, яка у своєму першому рядку має вектор v1 = (-1 0), а у другому рядку вектор v2 = (0 1) є ортогональною матрицею.
Рішення: Матриця M побудована і її транспозиція M T обчислюється :
У цьому прикладі матриця M є самоперенесеною, тобто матриця та її транспонування однакові. Помножимо M на його перенесення M T :
Перевірено, що MM T дорівнює матриці тотожності:
Коли матриця M помножується на координати вектора або точки, отримуються нові координати, які відповідають перетворенню, яке матриця робить у векторі чи точці.
На малюнку 1 показано, як M перетворює вектор u в u ', а також як M перетворює синій багатокутник у червоний багатокутник. Оскільки M є ортогональним, то це ортогональне перетворення, яке зберігає відстані та кути.
Приклад 2
Припустимо, у вас є матриця 2 x 2, визначена в результатах, заданих наступним виразом:
Знайдіть реальні значення a, b, c і d такі, що матриця M є ортогональною матрицею.
Рішення: За визначенням матриця є ортогональною, якщо помножена на її транспозит отримана матриця ідентичності. Пам'ятаючи, що транспоновану матрицю отримують з оригіналу, обмінюючи рядки для стовпців, виходить така рівність:
Виконуючи матричне множення, ми маємо:
Прирівнюючи елементи лівої матриці з елементами матриці тотожності праворуч, отримуємо систему з чотирьох рівнянь з чотирма невідомими a, b, c та d.
Ми пропонуємо для a, b, c і d такі вирази через тригонометричні співвідношення синус і косинус:
З цією пропозицією і завдяки фундаментальній тригонометричній тотожності перше та третє рівняння автоматично задовольняються рівністю елементів матриці. Третє і четверте рівняння однакові і в матричній рівності після заміни запропонованих значень це виглядає приблизно так:
що призводить до наступного рішення:
Нарешті, для ортогональної матриці M отримуються наступні рішення:
Зауважимо, що перший із розчинів має детермінант +1, тому він належить до групи SU (2), тоді як другий розчин має детермінант -1 і тому не належить до цієї групи.
Приклад 3
Давши наступну матрицю, знайдіть значення a і b так, щоб у нас була ортогональна матриця.
Рішення: Щоб дана матриця була ортогональною, добуток із її транспондуванням має бути матрицею ідентичності. Потім виконується матричний добуток даної матриці з перекладеною матрицею, даючи такий результат:
Далі результат прирівнюється до матриці ідентичності 3 x 3:
У другому рядку третій стовпець має (ab = 0), але a не може бути нульовим, оскільки в іншому випадку рівність елементів другого рядка та другого стовпця не буде виконана. Тоді обов'язково b = 0. Підставляючи b на значення 0, маємо:
Тоді розв’язується рівняння: 2a ^ 2 = 1, розв’язання якого: + ½√2 і -½√2.
Беручи позитивне рішення для а, отримуємо таку ортогональну матрицю:
Читач може легко переконатися, що вектори рядків (а також вектори стовпців) є ортогональними та одиничними, тобто ортонормальними.
Приклад 4
Покажіть, що матриця A , векторами рядків v1 = (0, -1 0) , v2 = (1, 0, 0) і v3 = (0 0 -1) є ортогональною матрицею. Крім того, знайдіть, що вектори перетворюються з канонічної основи i, j, k у вектори u1 , u2 та u3 .
Рішення: Слід пам’ятати, що елемент (i, j) матриці, помножений на її транспозицію, є крапковим добутком вектора рядка (i) на стовпець (j) транспозиції. Крім того, цей добуток дорівнює дельті Кронекера у випадку, якщо матриця є ортогональною:
У нашому випадку це виглядає приблизно так:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
З яким показано, що це ортогональна матриця.
Крім того, u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) і нарешті u3 = A k = (0, 0, -1)
Список літератури
- Ентоні Ніколайдес (1994) Детермінанти та матриці. Пройти публікацію.
- Бірхофф і Маклайн. (1980). Сучасна алгебра, ред. Віченс-Вівес, Мадрид.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Вступ до лінійної алгебри. Редакція ESIC.
- Дейв Кіркбі (2004) Maths Connect. Хайнеман.
- Дженні Олив (1998) Математика: Посібник з виживання студента. Cambridge University Press.
- Річард Дж. Браун (2012) Математика 30 секунд: 50 найпоширеніших теорій математики. Ivy Press Limited.
- Вікіпедія. Ортогональна матриця. Відновлено з: es.wikipedia.com
- Вікіпедія. Ортогональна матриця. Відновлено з: en.wikipedia.com