АНТИДЕРИВАТ: ФОРМУЛИ ТА РІВНЯННЯ, ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Первісна Р (х) функції F (х) також називають примітивним або просто невизначений інтеграл від зазначеної функції, якщо в заданому інтервалі I, воно виконано , що Г '(х) = F (X)

Для прикладу візьмемо таку функцію:

f (x) = 4x ³

Антидеривативом цієї функції є F (x) = x ⁴ , оскільки при диференціюванні F (x) використовуючи правило деривації для потужностей:

Отримуємо точно f (x) = 4x ³ .

Однак це лише одне з багатьох антидеривативів f (x), оскільки ця інша функція: G (x) = x ⁴ + 2, тому що при диференціюванні G (x) відносно x виходить те саме назад f (x).

Давайте перевіримо:

Пам'ятайте, що похідна константи дорівнює 0. Отже , ми можемо додати будь-яку константу до терміна x ^4, і її похідна залишиться 4x ³ .

Зроблено висновок, що будь-яка функція загальної форми F (x) = x ⁴ + C, де C - реальна константа, служить антидеривативом f (x).

Наведений вище ілюстративний приклад може бути виражений так:

dF (x) = 4x ³ dx

Антидеривативний або невизначений інтеграл виражається символом ∫, отже:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

Де функція f (x) = 4x ³ називається інтегралом, а C - константою інтеграції.

Приклади антидеривативів

Малюнок 1. Антидериват є не що інше, як невизначений інтеграл. Джерело: Pixabay.

Пошук антидеривату функції є простим у деяких випадках, коли похідні добре відомі. Наприклад, нехай функція f (x) = sin x, антидеривативом для неї є інша функція F (x), така, що при диференціюванні ми отримуємо f (x).

Ця функція може бути:

F (x) = - cos x

Давайте перевіримо, що це правда:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Тому ми можемо написати:

∫sen x dx = -cos x + C

Окрім знання похідних, існують деякі основні та прості правила інтеграції, щоб знайти антидеривативний чи невизначений інтеграл.

Нехай k - реальна константа, тоді:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Якщо функцію h (x) можна виразити як додавання або віднімання двох функцій, то її невизначеним інтегралом є:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Це властивість лінійності.

Правило повноважень інтегралів можна встановити таким чином:

Для випадку n = -1 використовується наступне правило:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C

Неважко показати, що похідна ln x саме x ^-1 .

Диференціальні рівняння

Диференціальне рівняння - це те, в якому невідоме знаходиться як похідне.

Тепер із попереднього аналізу легко зрозуміти, що обернена операція на похідну є антидеривативом чи невизначеним інтегралом.

Нехай f (x) = y´ (x), тобто похідна певної функції. Ми можемо використовувати наступні позначення для позначення цієї похідної:

З цього випливає, що:

Невідомим диференціальним рівнянням є функція y (x), яка є похідною f (x). Для її вирішення попередній вираз інтегрується з обох сторін, що еквівалентно застосуванню антидеривативу:

Лівий інтеграл розв'язується правилом інтеграції 1, при цьому k = 1, таким чином, розв'язується потрібне невідоме:

А оскільки C - реальна константа, щоб знати, який із них підходить у кожному конкретному випадку, вислів повинен містити достатню додаткову інформацію для обчислення значення C. Це називається початковою умовою.

Приклади застосування всього цього ми побачимо в наступному розділі.

Антидеривативні вправи

- Вправа 1

Застосовуйте правила інтеграції для отримання наступних антидеривативів або невизначених інтегралів заданих функцій, максимально спрощуючи результати. Зручно перевірити результат шляхом виведення.

Малюнок 2. Вправи антидеривативів або певних інтегралів. Джерело: Pixabay.

Рішення для

Спочатку застосовуємо правило 3, оскільки інтеграл - це сума двох доданків:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Для першого інтеграла застосовується правило живлення:

∫ дх = (х ² /2) + С ₁

У другому інтегральному правилі застосовується 1, де k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

І тепер результати додаються. Дві константи об'єднані в одну, загально названу C:

∫ (х + 7) = дх (х ² /2) + 7x + C ,

Рішення b

За лінійності цей інтеграл розкладається на три простіші інтеграли, до яких буде застосовано правило потужності:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Зауважте, що константа інтеграції з'являється для кожного інтеграла, але вони зустрічаються в одному дзвінку C.

Розв’язання c

У цьому випадку зручно застосувати розподільну властивість множення для розвитку інтегранда. Тоді правило живлення використовується для пошуку кожного інтеграла окремо, як у попередній вправі.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

Уважний читач зауважить, що два центральних доданки схожі, тому перед інтеграцією вони скорочуються:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

Рішення e

Одним із способів вирішення інтеграла було б розвиток потужності, як це було зроблено в прикладі d. Однак, оскільки показник вищий, доцільно було б змінити змінну, щоб не довелося робити такий тривалий розвиток.

Зміна змінної полягає в наступному:

u = x + 7

Виведення цього виразу в обидві сторони:

du = dx

Інтеграл перетворюється на більш простий з новою змінною, що вирішується правилом потужності:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

Нарешті зміна повертається до повернення до вихідної змінної:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- Вправа 2

Частинка спочатку знаходиться в спокої і рухається по осі x. Його прискорення при t> 0 задається функцією a (t) = cos t. Відомо, що при t = 0 позиція x = 3, все в одиницях Міжнародної системи. Попрошується знайти швидкість v (t) і положення х (t) частинки.

Рішення

Оскільки прискорення є першою похідною швидкості відносно часу, ми маємо наступне диференціальне рівняння:

a (t) = v´ (t) = cos t

Звідси випливає, що:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

З іншого боку, ми знаємо, що швидкість у свою чергу є похідною позиції, тому реінтегруємо:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁ ) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Константи інтеграції визначаються з інформації, наведеної у виписці. По-перше, це говорить про те, що частинка спочатку знаходилась у спокої, тому v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

Тоді маємо x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

Функції швидкості та положення точно такі:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

Список літератури

1. Енглер, А. 2019. Інтегральне числення. Національний університет Літоралу.
2. Ларсон, Р. 2010. Розрахунок змінної. 9-й. Видання. McGraw Hill.
3. Математика Безкоштовні тексти. Антидеривативи. Відновлено з: math.liibretexts.org.
4. Вікіпедія. Антидеривативні. Відновлено з: en.wikipedia.org.
5. Вікіпедія. Невизначена інтеграція. Відновлено з: es.wikipedia.org.