ЧОТИРИКУТНИК: ЕЛЕМЕНТИ, ВЛАСТИВОСТІ, КЛАСИФІКАЦІЯ, ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Чотирикутник є багатокутник з чотирьох сторін і чотири вершин. Його протилежні сторони - це ті, що не мають спільних вершин, тоді як послідовні сторони - це спільні вершини.

У чотирикутнику суміжні кути поділяють одну сторону, тоді як протилежні кути не мають спільних сторін. Ще одна важлива характеристика чотирикутника полягає в тому, що сума його чотирьох внутрішніх кутів удвічі перевищує кут площини, тобто радіани 360º або 2π.

Малюнок 1. Різні чотирикутники. Джерело: Ф. Сапата.

Діагоналі - це відрізки, що з'єднують вершину з її протилежністю і в заданому чотирикутнику з кожної вершини можна провести по одній діагоналі. Загальна кількість діагоналей у чотирикутнику - дві.

Чотирикутники - це фігури, відомі людству з давніх часів. Про це свідчать археологічні записи, а також споруди, які збереглися сьогодні.

Так само сьогодні чотирикутники продовжують мати важливу присутність у повсякденному житті кожного. Читач може знайти цю форму на екрані, на якому він саме зараз читає текст, на вікнах, дверях, автомобільних деталях та незліченних кількох місцях.

Чотирикутна класифікація

Відповідно до паралелізму протилежних сторін чотирикутники класифікуються так:

1. Трапеція, коли немає паралелізму, а чотирикутник опуклий.
2. Трапеція, коли існує паралелізм між однією парою протилежних сторін.
3. Паралелограма, коли її протилежні сторони паралельні дві на дві.

Малюнок 2. Класифікація та підкласифікація чотирикутників. Джерело: Wikimedia Commons.

Види паралелограма

У свою чергу паралелограми можна класифікувати за їх кутами та їх сторонами так:

1. Прямокутник - це паралелограм, який має чотири внутрішні кути однакової міри. Внутрішні кути прямокутника утворюють прямий кут (90º).
2. Квадрат, це прямокутник з чотирма сторонами, рівними мірою.
3. Ромб - паралелограм з чотирма рівними сторонами, але різними суміжними кутами.
4. Ромбоїд, паралелограм з різними суміжними кутами.

Трапеція

Трапеція - це опуклий чотирикутник з двома паралельними сторонами.

Малюнок 3. Основи, сторони, висота та медіана трапеції. Джерело: Wikimedia Commons.

- У трапеції паралельні сторони називаються основами, а непаралельні сторони називаються бічними.

- Висота трапеції - це відстань між двома основами, тобто довжина відрізка з кінцями біля підстав і перпендикулярна до них. Цей відрізок ще називають висотою трапеції.

- Медіана - це відрізок, що з'єднує середини бічних сторін. Можна показати, що медіана паралельна основам трапеції та її довжина дорівнює півсум основ.

- Площа трапеції - її висота, помножена на півсуму основ:

Види трапецій

-Прямокутна трапеція : це та сторона, перпендикулярна до основ. Ця сторона також є висотою трапеції.

-Трапетна рівнобедрена : одна зі сторонами однакової довжини. У рівнобедреній трапеції кути, прилеглі до основ, рівні.

-Скаленова трапеція : одна зі сторонами різної довжини. Його протилежні кути можуть бути одним гострим, а другий тупими, але також може статися, що обидва є тупими або обома гострими.

Малюнок 4. Види трапеції. Джерело: Ф. Сапата.

Паралелограма

Паралелограм - це чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні дві на дві. У паралелограмі протилежні кути рівні, а суміжні кути додаткові, або, кажучи іншим чином, суміжні кути складають до 180º.

Якщо паралелограм має прямий кут, то всі інші кути будуть занадто великими, а отримана фігура називається прямокутником. Але якщо у прямокутника також є суміжні його сторони однакової довжини, то всі його сторони рівні, а отримана фігура - квадрат.

Малюнок 5. Паралелограми. Прямокутник, квадрат і ромб є паралелограмами. Джерело: Ф. Сапата.

Коли паралелограм має дві сусідні сторони однакової довжини, всі його сторони будуть однакової довжини, а отримана фігура - ромб.

Висота паралелограма - це відрізок з кінцями на його протилежних сторонах і перпендикулярний до них.

Площа паралелограма

Площа паралелограма - добуток основи, меншої від її висоти, основа - сторона, перпендикулярна висоті (мал. 6).

Діагоналі паралелограма

Квадрат діагоналі, який починається від вершини, дорівнює сумі квадратів двох сторін, що примикають до зазначеної вершини плюс подвійний добуток цих сторін на косинус кута цієї вершини:

f ² = a ² + d ² + 2 оголошення Cos (α)

Малюнок 6. Паралелограма. Протилежні кути, висота, діагоналі. Джерело: Ф. Сапата.

Квадрат діагоналі навпроти вершини паралелограма дорівнює сумі квадратів двох сторін, що прилягають до зазначеної вершини, і віднімання подвійного добутку цих сторін косинусом кута цієї вершини:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Закон паралелограм

У будь-якому паралелограмі сума квадратів його сторін дорівнює сумі квадратів діагоналей:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

Прямокутник - це чотирикутник, його протилежні сторони паралельні дві на дві і які також мають прямий кут. Іншими словами, прямокутник - це тип паралелограма з прямим кутом. Оскільки це паралелограм, прямокутник має протилежні сторони однакової довжини a = c і b = d.

Але як і в будь-якому паралелограмі, суміжні кути є додатковими, а протилежні кути рівні, у прямокутнику, оскільки він має прямий кут, він обов’язково утворюватиме прямі кути в інших трьох кутах. Іншими словами, у прямокутнику всі внутрішні кути вимірюють 90º або π / 2 радіани.

Діагоналі прямокутника

У прямокутнику діагоналі мають однакову довжину, як буде показано нижче. Міркування наступні; Прямокутник є паралелограмом з усіма його прямими кутами і тому успадковує всі властивості паралелограма, включаючи формулу, яка дає довжину діагоналей:

f ² = a ² + d ² + 2 оголошення Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

при α = 90º

Оскільки Cos (90º) = 0, то буває так:

f ² = g ² = a ² + d ²

Тобто, f = g, і тому довжини f і g двох діагоналей прямокутника рівні, а їх довжина задається:

Крім того, якщо в прямокутнику з суміжними сторонами a і b одна сторона буде взята за основу, інша сторона буде висотою і, отже, площа прямокутника буде:

Площа прямокутника = ось b.

Периметр - це сума всіх сторін прямокутника, але оскільки протилежності рівні, то для прямокутника зі сторонами a і b периметр задається такою формулою:

Периметр прямокутника = 2 (a + b)

Малюнок 7. Прямокутник зі сторонами a і b. Діагоналі f і g мають однакову довжину. Джерело: Ф. Сапата.

Майдан

Квадрат - це прямокутник з суміжними сторонами однакової довжини. Якщо квадрат має сторону a, то його діагоналі f і g мають однакову довжину, яка f = g = (√2) a.

Площа квадрата має його бічний квадрат:

Площа квадрата = a ²

Периметр квадрата вдвічі більше сторони:

Периметр квадрата = 4 а

Малюнок 8. Квадрат зі стороною а, вказуючи його площу, периметр і довжину його діагоналей. Джерело: Ф. Сапата ..

Алмаз

Ромб - це паралелограм з суміжними сторонами однакової довжини, але оскільки протилежні сторони рівні в паралелограмі, то всі сторони ромба рівні за довжиною.

Діагоналі ромба мають різну довжину, але перетинаються під прямим кутом.

Малюнок 9. Ромб сторони a із зазначенням його площі, його периметра та довжини його діагоналей. Джерело: Ф. Сапата.

Приклади

Приклад 1

Покажіть, що у чотирикутнику (не перетинається) внутрішні кути дорівнюють до 360º.

Малюнок 10: Показано, як сума кутів чотирикутника дорівнює 360º. Джерело: Ф. Сапата.

Розглядається чотирикутник ABCD (див. Рисунок 10) і намалюється діагональ BD. Утворено два трикутники ABD і BCD. Сума внутрішніх кутів трикутника ABD дорівнює:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

А сума внутрішніх кутів трикутника BCD дорівнює:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Додаючи два рівняння, отримаємо:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Групування:

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

Групуючи та перейменуючи, остаточно показано, що:

α + β + δ + γ = 360º

Приклад 2

Покажіть, що медіана трапеції паралельна її основам, а її довжина - півсум основ.

Малюнок 11. Медіана MN трапеції ABCD. Джерело: Ф. Сапата.

Медіана трапеції - це відрізок, що з'єднує середини його сторін, тобто непаралельні сторони. У трапеції ABCD, зображеній на малюнку 11, медіана - MN.

Оскільки M - середня точка AD, а N - середина BC, співвідношення AM / AD та BN / BC рівні.

Тобто, AM пропорційний BN в тій же пропорції, що і AD до BC, тому наведені умови для застосування теореми Талеса (зворотної), де зазначено наступне:

"Якщо пропорційні відрізки визначаються трьома або більше лініями, нарізаними двома секундами, то ці лінії є паралельними."

У нашому випадку робиться висновок, що лінії MN, AB і DC паралельні один одному, тому:

"Медіана трапеції паралельна її основам."

Тепер буде застосована теорема Фалеса:

"Набір паралелей, розрізаних на два чи більше секантів, визначають пропорційні відрізки."

У нашому випадку AD = 2 AM, AC = 2 AO, тому DAC трикутника аналогічний трикутнику MAO, а отже, DC = 2 MO.

Подібний аргумент дозволяє нам підтвердити, що CAB схожий на CON, де CA = 2 CO і CB = 2 CN. Одразу випливає, що AB = 2 ON.

Коротше кажучи, AB = 2 ON і DC = 2 MO. Отже при додаванні ми маємо:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Нарешті MN очищається:

MN = (AB + DC) / 2

І робиться висновок, що медіана трапеції вимірює напівсуму основ, або, кажучи іншим способом: медіана вимірює суму основ, поділену на дві.

Приклад 3

Покажіть, що в ромбі діагоналі перетинаються під прямим кутом.

Малюнок 12. Ромб та демонстрація того, що його діагоналі перетинаються під прямим кутом. Джерело: Ф. Сапата.

Дошка на малюнку 12 показує необхідну конструкцію. Спочатку проводиться паралелограм ABCD з AB = BC, тобто ромбом. Діагоналі AC та DB визначають вісім кутів, показаних на рисунку.

Використовуючи теорему (аіп), яка стверджує, що чергування внутрішніх кутів між паралелями, розрізаними секантом, визначають рівні кути, ми можемо встановити наступне:

α ₁ = γ ₁ , α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ і δ2 = β2. (*)

З іншого боку, оскільки сусідні сторони ромба мають однакову довжину, визначаються чотири рівнобедрених трикутника:

DAB, BCD, CDA та ABC

Тепер викликається теорема трикутника (рівнобедрених), яка говорить про те, що кути, прилеглі до основи, мають рівну міру, з чого робиться висновок, що:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ і α ₁ = γ2 (**)

Якщо відношення (*) і (**) поєднуються, досягається наступна рівність кутів:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ _1, з одного боку, і β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2, з іншого.

Згадуючи теорему рівних трикутників, яка стверджує, що два трикутники з рівною стороною між двома рівними кутами рівні, маємо:

AOD = AOB і, отже, також кути ∡AOD = ∡AOB.

Тоді ∡AOD + ∡AOB = 180º, але оскільки обидва кути мають однакову міру, у нас є 2 ∡AOD = 180º, що означає, що ∡AOD = 90º.

Тобто геометрично показано, що діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом.

Вправи розв’язуються

- Вправа 1

Покажіть, що у правій трапеції неправі кути є додатковими.

Рішення

Малюнок 13. Права трапеція. Джерело: Ф. Сапата.

Трапеція ABCD побудована з базами AB і DC паралельно. Внутрішній кут вершини А є правильним (він вимірює 90º), тому у нас є права трапеція.

Кути α і δ - це внутрішні кути між двома паралелями AB і DC, тому вони рівні, тобто δ = α = 90º.

З іншого боку, було показано, що сума внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює 360º, тобто:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Сказане призводить до:

β + δ = 180º

Підтверджуючи те, що хотілося показати, що кути β та δ є додатковими.

- Вправа 2

Паралелограм ABCD має AB = 2 см і AD = 1 см, крім того кут BAD становить 30º. Визначте площу цього паралелограма та довжину його двох діагоналей.

Рішення

Площа паралелограма - добуток довжини його основи та її висоти. У цьому випадку за основу буде взята довжина відрізка b = AB = 2 см, інша сторона має довжину a = AD = 1 см, а висота h обчислюється так:

h = AD * Sen (30º) = 1 см * (1/2) = ½ см.

Отже: Площа = b * h = 2 см * ½ см = 1 см ² .

Список літератури

1. CEA (2003). Елементи геометрії: з вправами та геометрією циркуля. Університет Медельїна.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Математика 2. Групова редакційна патрія.
3. Фрід, К. (2007). Відкрийте для себе багатокутники. Benchmark Education Company.
4. Гендрик, В. (2013). Узагальнені багатокутники. Birkhäuser.
5. ІГЕР. (sf). Математика Перший семестр Tacaná. ІГЕР.
6. Молодша геометрія (2014). Полігони. Lulu Press, Inc.
7. Міллер, Херен та Хорнсбі. (2006). Математика: міркування та програми (десяте видання). Пірсон освіта.
8. Патіньо, М. (2006). Математика 5. Редакційний прогрес.
9. Вікіпедія. Чотирикутники. Відновлено з: es.wikipedia.com