МОТУЗКА (ГЕОМЕТРІЯ): ДОВЖИНА, ТЕОРЕМА ТА ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Акорд , в плоскої геометрії, є відрізок , який з'єднує дві точки на кривій. Лінія, що містить цей відрізок, називається секантною лінією кривої. Це часто коло, але акорди, безумовно, можна намалювати на багатьох інших кривих, таких як еліпси та параболи.

На малюнку 1 зліва є крива, до якої належать точки A і B. Хорда між A і B - зелений відрізок. Праворуч - окружність і одна з її рядків, оскільки можна намалювати нескінченності.

Малюнок 1. Зліва від хорди довільної кривої та праворуч від хорди кола. Джерело: Wikimedia Commons.

По колу його діаметр особливо цікавий, який також відомий як основний акорд. Це акорд, який завжди містить центр окружності і вимірює вдвічі радіус.

На наступному малюнку показані радіус, діаметр, хорда, а також дуга окружності. Правильна ідентифікація кожного важлива при вирішенні проблем.

Малюнок 2. Елементи окружності. Джерело: Wikimedia Commons.

Довжина акорда кола

Ми можемо обчислити довжину хорди по колу з рисунків 3а та 3b. Зауважимо, що трикутник завжди утворюється з двома рівними сторонами (рівнобедреними): відрізками OA і OB, які вимірюють R, радіус окружності. Третя сторона трикутника - відрізок AB, який називається C, що є точно довжиною хорди.

Необхідно провести лінію, перпендикулярну до хорди C, щоб розділити кут θ, який існує між двома радіусами і вершиною якого є центр O окружності. Це центральний кут - оскільки його вершина є центром - і бісектрисна лінія також є секантом окружності.

Відразу утворюються два праві трикутники, гіпотенуза яких вимірює Р. Оскільки бісектриса, а разом з нею і діаметр, розділяє хорду на дві рівні частини, виходить, що одна з ніжок - половина С, як зазначено в Малюнок 3b.

З визначення синуса кута:

sin (θ / 2) = протилежна нога / гіпотенуза = (C / 2) / R

Таким чином:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Малюнок 3. Трикутник, утворений двома радіусами і хордою окружності, є рівнобедреними (мал. 3), оскільки має дві рівні сторони. Бісектриса ділить його на два праві трикутники (мал. 3, б). Джерело: підготував Ф. Сапата.

Теорема струн

Теорема рядків йде так:

На наступному малюнку показано два акорди однакової окружності: AB і CD, які перетинаються в точці P. У хорді AB визначені відрізки AP і PB, в той час як у акорді CD визначено CP і PD. Отже, згідно з теоремою:

AP. PB = CP. P.S.

Малюнок 4. Теорема хорди кола. Джерело: Ф. Сапата.

Розв’язували вправи струн

- Вправа 1

Коло має акорд 48 см, що знаходиться на відстані 7 см від центру. Обчисліть площу кола та периметр окружності.

Рішення

Щоб обчислити площу кола А, достатньо знати радіус окружності в квадраті, оскільки це правда:

A = π.R ²

Тепер фігура, яка утворена за поданими даними, - це правильний трикутник, ніжки якого відповідно 7 та 24 см.

Малюнок 5. Геометрія для розв’язаної вправи 1. Джерело: Ф. Сапата.

Тому, щоб знайти значення R ² , теорема Піфагора c ² = a ² + b ² застосовується безпосередньо , оскільки R - гіпотенуза трикутника:

R ² = (7 см) ² + (24 см) ² = 625 см ²

Отже, запитувана область:

A = π. 625 см ² = 1963,5 см ²

Що стосується периметра або довжини L окружності, він обчислюється:

L = 2π. R

Підміна значень:

R = √625 см ² = 25 див

L = 2π. 25 см = 157,1 см.

- Вправа 2

Визначте довжину хорди кола, рівняння якого дорівнює:

x ² + y ² - 6x - 14y -111 = 0

Координати середини хорди, як відомо, Р (17/2; 7/2).

Рішення

Середина хорди Р не належить до окружності, а кінцевих точок акорда. Проблему можна вирішити, використовуючи попередньо проголошену теорему струн, але спочатку зручно написати рівняння окружності в канонічній формі, визначити її радіус R та його центр O.

Крок 1: Отримайте канонічне рівняння окружності

Канонічне рівняння кола з центром (h, k) дорівнює:

(xh) ² + (yk) ² = R ²

Щоб отримати його, ви повинні заповнити квадрати:

(x ² - 6x) + (y ² - 14y) -111 = 0

Зауважте, що 6x = 2. (3x) і 14y = 2. (7y), так що попередній вираз буде переписано так, залишаючись незмінним:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ² ) + (y ² - 14y + 7 ² -7 ² ) -111 = 0

А тепер, запам'ятавши визначення чудового продукту (ab) ² = a ² - 2ab + b ² , можна написати:

(х - 3) ² - 3 ² + (у - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

Окружність має центр (3,7) і радіус R = √169 = 13. На наступному малюнку показано графік окружності та акорди, які будуть використані в теоремі:

Рисунок 6. Графік окружності розв’язаної вправи 2. Джерело: Ф. Сапата за допомогою онлайн-калькулятора графіки Mathway.

Крок 2: визначте сегменти, які слід використовувати в теоремі рядків

Використовувані сегменти - це рядки CD і AB, відповідно до малюнка 6, обидва вирізані в точці P, отже:

CP. PD = AP. ПБ

Тепер ми знаходимо відстань між точками O і P, оскільки це дасть нам довжину відрізка OP. Якщо до цієї довжини додати радіус, у нас буде сегмент CP.

Відстань d _OP між двома точками координат (x ₁ , y ₁ ) та (x ₂ , y ₂ ) дорівнює:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁ ) ² + (y ₂ - y ₁ ) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

З усіх отриманих результатів плюс графік ми будуємо наступний список сегментів (див. Рисунок 6):

CO = 13 см = R

OP = √170 / 2 див

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 див

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 см

AP = PB

2.AP = довжина акорда

Підстановка в теоремі рядків:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

Довжина струни - 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Чи міг читач вирішити проблему іншим способом?

Список літератури

1. Бальдор, А. 2004. Геометрія площини та простору з тригонометрією. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. C-K12. Довжина акорду. Відновлено з: ck12.org.
3. Ескобар, Дж. Окружність. Відновлено з: matematicas.udea.edu.co.
4. Віллена, М. Кунікас. Відновлено з: dspace.espol.edu.ec.
5. Вікіпедія. Мотузка (геометрія). Відновлено з: es.wikipedia.org.