ПОХІДНЕ ВІД КОТАНГЕНСУ: ОБЧИСЛЕННЯ, ДОВЕДЕННЯ, ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Похідне котангенс одно протилежність квадрату косеканс «-Csc ² ». Ця формула підкоряється законам похідної за визначенням та диференціацією тригонометричних функцій. Позначається так:

d (ctg u) = -csc ² u. дю

Де "du" символізує вираз, отриманий від функції аргументу, щодо незалежної змінної.

Джерело: Pixabay.com

Як він обчислюється?

Процедура розробки цих похідних досить проста. Досить просто правильно визначити аргумент і тип функції, яку він представляє.

Наприклад, вираз Ctg (f / g) має поділ у своєму аргументі. Це вимагатиме диференціювання щодо U / V після розробки похідної котангенту.

Котангент - це зворотна дотична. Алгебраїчно це означає, що:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

Неправильно сказати, що функція котангенсу - це "обернена" дотичної. Це тому, що зворотна дотична функція за визначенням є дуговою дотичною.

(Tg ^-1 x) = arctg x

Згідно трифагометрії Піфагора, котангент бере участь у наступних розділах:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

Відповідно до аналітичної тригонометрії, вона відповідає на такі тотожності:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg ² a) / (2tg a)

Характеристика функції котагента

Необхідно проаналізувати різні характеристики функції f (x) = ctg x, щоб визначити аспекти, необхідні для вивчення її диференційованості та застосування.

Вертикальні асимптоти

Функція котангенсу не визначена на значеннях, які роблять вираз "Senx" нульовим. Через його еквівалентний Ctg x = (cos x) / (sin x) він буде мати невизначеність у всіх "nπ" з n, що належать цілим числам.

Тобто в кожному з цих значень x = nπ буде вертикальний асимптот. Коли ви підходите зліва, значення котангенту буде швидко зменшуватися, а при наближенні праворуч функція буде збільшуватися нескінченно.

Домен

Область функції котагента виражається множиною {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. Це читається як "x, що належить множині дійсних чисел, таким, що x відрізняється від nπ, причому n належить до набору цілих чисел".

Ранг

Діапазон функції котагента - від мінус до плюс нескінченність. Тому можна зробити висновок, що його ранг - це множина дійсних чисел R.

Частота

Функція котангенсу періодична, а її період дорівнює π. Таким чином виконується рівність Ctg x = Ctg (x + nπ), де n належить Z.

Поведінка

Це непарна функція, оскільки Ctg (-x) = - Ctg x. Таким чином відомо, що функція представляє симетрію щодо координатного початку. Він також представляє зменшення кожного інтервалу, розташованого між двома послідовними вертикальними асимптотами.

Він не має максимальних або мінімальних значень, через те, що його наближення до вертикальних асимптотів є поведінкою, коли функція збільшується або зменшується нескінченно.

Нулі або корені котангенсної функції знаходять у непарних кратних π / 2. Це означає, що Ctg x = 0 має значення для виду x = nπ / 2 з n непарними цілими числами.

Демонстрація

Існує 2 способи довести похідну функції котагента.

Тригонометричний диференціальний доказ

Доведено похідну котагентної функції від її еквівалента в синусах і косинусах.

Це трактується як похідне від розподілу функцій

Після виведення чинників групуються, а мета - емуляція ідентичності піфагора

Підміна тотожностей і застосування взаємності, вираз

Доведення за визначенням похідної

Наступний вираз відповідає похідному за визначенням. Там, де відстань між 2 точками функції наближається до нуля.

Підставляючи котангенс, ми маємо:

Ідентичні дані застосовуються для суми аргументів та взаємності

Частка чисельника традиційно оперується

Усунувши протилежні елементи і взявши загальний фактор, отримаємо

Застосовуючи піфагорійські тотожності та взаємність, ми повинні

Елементи, оцінені в х, є постійними щодо межі, тому вони можуть залишити аргумент цього. Потім застосовуються властивості тригонометричних меж.

Ліміт оцінюється

Потім він враховується до досягнення бажаного значення

Таким чином, похідна котагента демонструється як протилежна квадрату косантанта.

Розв’язані вправи

Вправа 1

Виходячи з функції f (x), визначте вираз f '(x)

Відповідне виведення застосовується з урахуванням правила ланцюга

Виведення аргументу

Іноді для адаптації рішень доводиться застосовувати взаємні або тригонометричні тотожності.

Вправа 2

Визначте диференціальний вираз, відповідний F (x)

Відповідно до формули деривації та дотримуючись правила ланцюга

Аргумент виведений, а решта залишається тим самим

Виведення всіх елементів

Оперуючи традиційним способом вироби тієї ж бази

Додаються рівні елементи і витягується загальний фактор

Знаки спрощені та керовані. Даючи шлях до повністю виведеного виразу

Список літератури

1. Тригонометричний ряд, Том 1. А. Зигмунд. Cambridge University Press, 2002
2. Обчислення єдиної змінної. Рон Ларсон, Брюс Х. Едвардс. Cengage Learning, 10 листопада 2008 рік
3. Обчислення з тригонометрією та аналітичною геометрією. Джон Х. Саксон, Джон Саксон, Френк Ванг, Діана Харві. Саксонські видавці, 1988
4. Багатовимірний аналіз. Сатіш Ширалі, Харрішан Лал Васудева. Springer Science & Business Media, 13 грудня. 2010 рік
5. Динаміка системи: моделювання, моделювання та управління мехатронними системами. Дін К. Карнопп, Дональд Л. Марголіс, Рональд К. Розенберг. John Wiley & Sons, 7 березня 2012 рік
6. Підрахунок: математика та моделювання. Вільям Болдрі, Джозеф Р. Фідлер, Френк Р. Джордано, Ед Лоді, Рік Вітрай. Аддісон Веслі Лонгман, 1 січня 1999 рік