АЛГЕБРАЇЧНІ ПОХІДНІ (З ПРИКЛАДАМИ) - МАТЕМАТИКА - 2025

В алгебраїчних похідних складаються з вивчення похідної в разі алгебраїчних функцій. Походження поняття про похідне сягає Стародавньої Греції. Розвиток цього поняття мотивовано потребою вирішити дві важливі проблеми, одну з фізики, а другу з математики.

У фізиці похідна вирішує задачу визначення миттєвої швидкості руху предмета. У математиці ви можете знайти дотичну лінію до кривої в заданій точці.

Хоча насправді існує набагато більше проблем, які вирішуються за допомогою похідної, а також її узагальнення, результати, що з’явилися після впровадження її концепції.

Піонерами диференціального числення є Ньютон та Лейбніц. Перш ніж дати формальне визначення, ми будемо розвивати ідею, що стоїть за нею, з математичної та фізичної точки зору.

Похідна як нахил дотичної лінії до кривої

Припустимо, що графік функції y = f (x) - це суцільний графік (без вершин, вершин чи прогалин), і нехай A = (a, f (a)) є фіксованою точкою на ньому. Хочемо знайти рівняння дотичної лінії до графіка функції f в точці А.

Візьмемо будь-яку іншу точку P = (x, f (x)) на графіку, близьку до точки A, і проведемо секантну лінію, яка проходить через A і P. Секантна лінія - це лінія, яка розрізає графік кривої на одну або більше балів.

Для отримання потрібної нам дотичної лінії нам потрібно лише обчислити нахил, оскільки у нас вже є точка на прямій: точка А.

Якщо ми перемістимо точку Р уздовж графіка і наблизимось і наблизимось до точки А, згадана раніше лінія сеансу наблизиться до дотичної лінії, яку ми хочемо знайти. Якщо взяти межу, коли "P має тенденцію до A", обидві лінії збігатимуться, тому їх нахили також.

Нахил секантної лінії задається через

Скажімо, що P наближається до A, рівнозначно тому, що "x" наближається до "a". Таким чином, нахил дотичної лінії до графіка f в точці А буде дорівнює:

Вищенаведений вираз позначається f '(a) і визначається як похідна функції f в точці "a". Тому ми бачимо, що аналітично похідна функції у точці є межею, але геометрично це нахил дотичної лінії до графіка функції в точці.

Зараз ми розглянемо це поняття з точки зору фізики. Ми дійдемо до того ж вираження попередньої межі, хоча й іншим шляхом, отримуючи таким чином одностайність визначення.

Похідна як миттєва швидкість рухомого об’єкта

Давайте розглянемо короткий приклад того, що означає миттєва швидкість. Наприклад, коли говорять, що автомобіль, який дістався до пункту призначення, зробив це зі швидкістю 100 км на годину, це означає, що за годину він проїхав 100 км.

Це не обов'язково означає, що протягом цілої години автомобіль завжди був 100 км, спідометр автомобіля в деяких моментах міг позначати менше або більше. Якщо у вас виникла потреба зупинитися на світлофорі, ваша швидкість на той час становила 0 км. Однак через годину мандрівка пройшла 100 км.

Це те, що називають середньою швидкістю і визначається коефіцієнтом пройденої відстані та минулим часом, як ми щойно бачили. З іншого боку, миттєва швидкість - це та, яка знаменує голку спідометра автомобіля в даний момент (час).

Давайте розглянемо це зараз більш загально. Припустимо, що об'єкт рухається по лінії, і що це переміщення представлено рівнянням s = f (t), де змінна t вимірює час, а змінна s - переміщення, враховуючи його початок у момент t = 0, при цьому він також дорівнює нулю, тобто f (0) = 0.

Ця функція f (t) відома як функція позиції.

Шукається вираз для миттєвої швидкості об'єкта у фіксований момент "a". З цією швидкістю позначимо її через V (a).

Нехай t будь-який момент, близький до миттєвого "a". У часовому інтервалі між "a" і "t" зміна положення об'єкта задається f (t) -f (a).

Середня швидкість цього інтервалу часу:

Що є наближенням миттєвої швидкості V (a). Це наближення буде кращим, коли t наблизиться до "a". Таким чином,

Зауважте, що цей вираз такий самий, як той, що отриманий у попередньому випадку, але з іншого погляду. Це те, що відоме як похідна функції f у точці "a" і позначається f '(a), як зазначено вище.

Зауважимо, що вносячи зміни h = xa, ми маємо те, що коли "x" має тенденцію до "a", "h" має тенденцію до 0, а попередня межа перетворюється (рівнозначно) на:

Обидва вирази рівнозначні, але іноді краще використовувати один замість іншого, залежно від випадку.

Потім похідна функції f у будь-якій точці "х", що належить її домену, визначається більш загальним чином як

Найпоширеніші позначення для представлення похідної функції y = f (x) - це те, що ми щойно бачили (f 'або y'). Однак іншим широко використовуваним позначенням є позначення Лейбніца, яке представлено у вигляді будь-якого з наступних виразів:

Оскільки похідна по суті є межею, вона може бути, а може і не існувати, оскільки межі не завжди існують. Якщо вона існує, кажуть, що розглядається функція є диференційованою в даній точці.

Алгебраїчна функція

Алгебраїчна функція - це поєднання многочленів за допомогою додавання, віднімання, продуктів, коефіцієнтів, потужностей і радикалів.

Поліном - це вираз форми

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Де n - натуральне число, а всі a _i , при i = 0,1, …, n - це раціональні числа і _n ≠ 0. У цьому випадку ступінь цього многочлена називається n.

Нижче наведено приклади алгебраїчних функцій:

Експоненціальні, логарифмічні та тригонометричні функції сюди не включаються. Правила деривації, які ми побачимо далі, справедливі для функцій загалом, але ми обмежимось і застосуємо їх у випадку алгебраїчних функцій.

Правила обходу

Похідне від константи

Заявляється, що похідна константи дорівнює нулю. Тобто, якщо f (x) = c, тоді f '(x) = 0. Наприклад, похідна постійної функції 2 дорівнює 0.

Похідне від потужності

Якщо f (x) = x ⁿ , то f '(x) = nx ^n-1 . Наприклад, похідна x ³ дорівнює 3x ² . Як наслідок цього, ми отримуємо, що похідна функції тотожності f (x) = x є f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

Іншим прикладом є такий: нехай f (x) = 1 / x ² , тоді f (x) = x ^-2 і f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3 .

Ця властивість також є коректними коренями, оскільки корені є раціональними повноваженнями, і вищезазначене також може бути застосоване в цьому випадку. Наприклад, похідна квадратного кореня задана через

Похідне додавання і віднімання

Якщо f і g є диференційованими функціями в x, то сума f + g також диференційована і виконується, що (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Аналогічно маємо, що (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Іншими словами, похідна від суми (віднімання) - це сума (або віднімання) похідних.

Приклад

Якщо h (x) = x ² + x-1, то

h '(x) = (x ² ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Отриманий з продукту

Якщо f і g є диференційованими функціями в x, то добуток fg також диференціюється в x, і правда, що

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Як наслідок, випливає, що якщо c - константа, а f - диференційована функція в x, то cf також диференціюється в x і (cf) '(x) = cf' (X).

Приклад

Якщо f (x) = 3x (x ² +1), то

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3.

Похідне частника

Якщо f і g є диференційованими при x і g (x) ≠ 0, то f / g також диференціюється при x, і це правда, що

Приклад: якщо h (x) = x ³ / (x ² -5x), то

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ² .

Правило ланцюга

Це правило дозволяє вивести склад функцій. Зазначте наступне: якщо y = f (u) диференціюється при u, yu = g (x) є диференційованим при x, то складна функція f (g (x)) диференціюється при x, і правда, що '= f '(g (x)) g' (x).

Тобто похідна складеної функції є добутком похідної зовнішньої функції (зовнішня похідна) та похідної внутрішньої функції (внутрішньої похідної).

Приклад

Якщо f (x) = (x ⁴ -2x) ³ , то

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Також є результати для обчислення похідної зворотної функції, а також узагальнення до похідних вищого порядку. Додатки великі. Серед них виділяються її корисність у проблемах оптимізації та максимальні та мінімальні функції.

Список літератури

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Діференційне обчислення. ІТМ.
2. Кабрера, В. М. (1997). Розрахунок 4000. Редакція Прогресо.
3. Кастаньо, HF (2005). Математика до розрахунку. Університет Медельїна.
4. Едуардо, Н.А. (2003). Вступ до обчислення. Порогові видання.
5. Фуентес, А. (2016). ОСНОВНА МАТ. Вступ до обчислення. Lulu.com.
6. Purcell, EJ, Rigdon, SE, & Varberg, DE (2007). Розрахунок. Пірсон освіта.
7. Saenz, J. (2005). Диференціальне обчислення (друге видання). Баркісімето: Гіпотенуза.
8. Thomas, GB, & Weir, MD (2006). Розрахунок: кілька змінних. Пірсон освіта.