ЧАСТКОВІ ПОХІДНІ: ПОЗНАЧЕННЯ, ПРИКЛАДИ ТА РОЗВ’ЯЗАНІ ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Ці приватні похідні від функції декількох змінних є ті , які визначають швидкість зміни функції , коли одна з змінних має нескінченно малу варіацію, в той час як інші змінні залишаються незмінними.

Щоб зробити ідею більш конкретною, припустимо випадок функції двох змінних: z = f (x, y). Часткова похідна функції f щодо змінної x обчислюється як звичайна похідна відносно x, але приймаючи змінну y так, ніби вона була постійною.

Рисунок 1. Функція f (x, y) та її часткові похідні ∂ _x f y ∂ _y f у точці P. (Розроблено Р. Пересом з геогебра)

Позначення часткової похідної

Операція часткової похідної функції f (x, y) на змінній x позначається будь-яким із наступних способів:

У часткових похідних використовується символ ∂ (різновид округлої літери d, яку також називають джакобі d), на відміну від звичайної похідної для одно змінних функцій, де літера d використовується для похідної.

Загалом, часткова похідна багатоваріантної функції стосовно однієї з її змінних призводить до появи нової функції в тих самих змінних вихідної функції:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Обчислення та значення часткової похідної

Для визначення швидкості зміни або нахилу функції для конкретної точки (x = a, y = b) у напрямку, паралельному осі X:

1- Обчислюється функція ∂ _x f (x, y) = g (x, y), приймаючи звичайну похідну у змінній x і залишаючи змінну y фіксованою або постійною.

2- Тоді значення точки x = a і y = b замінено, в якому ми хочемо знати швидкість зміни функції у напрямку x:

{Нахил у напрямку x у точці (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- Для обчислення швидкості зміни напрямку y в точці координат (a, b) спочатку обчисліть ∂ _і f (x, y) = h (x, y).

4- Тоді точка (x = a, y = b) замінюється в попередньому результаті для отримання:

{Нахил у напрямку y в точці (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Приклади часткових похідних

Деякі приклади часткових похідних є наступними:

Приклад 1

Дана функція:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Знайдіть часткові похідні функції f відносно змінної x та змінної y.

Рішення:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Зауважимо, що для обчислення часткової похідної функції f відносно змінної x було здійснено звичайне похідне відносно x, але змінну y було прийнято як би постійною. Аналогічно, при обчисленні часткової похідної f по відношенню до y змінна x приймається так, ніби вона стала.

Функція f (x, y) - це поверхня, яка називається параболоїдом, зображеною на малюнку 1, кольором охри.

Приклад 2

Знайдіть швидкість зміни (або нахилу) функції f (x, y) з прикладу 1 у напрямку осі X та осі Y для точки (x = 1, y = 2).

Рішення: Щоб знайти нахили в напрямках x і y в заданій точці, просто замініть значення точки на функцію ∂ _x f (x, y) та у функцію ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _і f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

На малюнку 1 показана дотична лінія (червоного кольору) до кривої, що визначається перетином функції f (x, y) з площиною y = 2, нахил цієї лінії дорівнює -2. На малюнку 1 також показана дотична лінія (зеленим кольором) до кривої, яка визначає перетин функції f з площиною x = 1; Ця лінія має нахил -4.

Вправи

Вправа 1

Конічна склянка в даний момент часу містить воду так, щоб поверхня води мала радіус r та глибину h. Але в склянці є невеликий отвір на дні, через який втрачається вода зі швидкістю C кубічних сантиметрів в секунду. Визначте швидкість спуску з поверхні води в сантиметрах на секунду.

Рішення:

Перш за все, слід пам’ятати, що обсяг води в даний момент є:

Об'єм - це функція двох змінних, радіус r і глибина h: V (r, h).

Коли об'єм змінюється на нескінченно малу величину dV, радіус r водної поверхні та глибина h води також змінюються відповідно до наступного співвідношення:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Переходимо до обчислення часткових похідних V відносно r і h відповідно:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Крім того, радіус r і глибина h відповідають наступному співвідношенню:

Поділ обох членів на диференціальний час dt дає:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Але dV / dt - це об'єм води, втрачений за одиницю часу, який, як відомо, становить C сантиметри в секунду, тоді як dh / dt - швидкість спуску вільної поверхні води, яка буде називатися v. Тобто поверхня води в даний момент спускається зі швидкістю v (в см / с), заданою:

v = C / (π r ^ 2).

Як числовий додаток, припустимо, що r = 3 см, h = 4 см, а швидкість витоку C дорівнює 3 см ^ 3 / с. Тоді швидкість спуску поверхні в цей момент дорівнює:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 см / с = 1,1 мм / с.

Вправа 2

Теорема Клайра-Шварца зазначає, що якщо функція неперервна в її незалежних змінних, а її часткові похідні відносно незалежних змінних також є неперервними, то змішані похідні другого порядку можуть бути замінені. Перевірте цю теорему щодо функції

f (x, y) = x ^ 2 y, тобто повинно бути правдою, що f _xy f = ∂ _yx f.

Рішення:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f), тоді як ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Доведено, що теорема Шварца дотримується, оскільки функція f та її часткові похідні є неперервними для всіх дійсних чисел.

Список літератури

1. Френк Айрес, Дж. Та Мендельсон, Е. (2000). Розрахунок 5ед. Mc Graw Hill.
2. Лейтхолд, Л. (1992). Розрахунок з аналітичною геометрією. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Розрахунок. Мексика: Пірсон освіта.
4. Saenz, J. (2005). Діференційне обчислення. Гіпотенуза.
5. Saenz, J. (2006). Інтегральне числення. Гіпотенуза.
6. Вікіпедія. Часткова похідна. Відновлено з: es.wikipedia.com