Аддитивное розкладання позитивного цілого числа складається з його виразу у вигляді суми двох або більше позитивних цілих чисел. Таким чином, маємо, що число 5 можна виразити як 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 або 5 = 1 + 2 + 2. Кожен із цих способів написання числа 5 - це те, що ми будемо називати адитивним розкладанням.

Якщо ми звернемо увагу, ми можемо побачити, що вирази 5 = 2 + 3 і 5 = 3 + 2 являють собою один і той же склад; вони обоє мають однакові номери. Однак для зручності кожен додаток пишеться зазвичай за критерієм від найнижчого до найвищого.

Аддитивне розкладання

В якості іншого прикладу ми можемо взяти число 27, яке можемо виразити як:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Адитивне розкладання - дуже корисний інструмент, який дозволяє нам підсилити наші знання про системи нумерації.

Канонічна добавка розкладання

Коли у нас є числа з більш ніж двома цифрами, особливий спосіб їх розкласти в кратних 10, 100, 1000, 10 000 і т.д., які складають його. Такий спосіб запису будь-якого числа називається канонічним адитивним розкладанням. Наприклад, число 1456 можна розкласти так:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Якщо у нас є число 20 846 295, його канонічне адитивне розкладання буде:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Завдяки цьому розкладенню ми можемо побачити, що значення даної цифри задається положенням, яке вона займає. Візьмемо для прикладу числа 24 і 42:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Тут ми можемо побачити, що в 24 2 має значення 20 одиниць, а в 4 - 4 одиниці; з іншого боку, у 42 4 має значення 40 одиниць, а у 2 - дві одиниці. Таким чином, хоча обидва числа використовують однакові цифри, їх значення абсолютно відрізняються через положення, яке вони займають.

Програми

Одне із застосувань, яке ми можемо дати адитивному розкладу, полягає в певних типах доказів, в яких дуже корисно бачити додатне ціле число як суму інших.

Приклад теореми

Візьмемо для прикладу наступну теорему з відповідними доказами.

- Нехай Z - це чотиризначне ціле число, тоді Z ділиться на 5, якщо його відповідна цифра одиницям дорівнює нулю або п'яти.

Демонстрація

Згадаймо, що таке поділ. Якщо у нас є цілі числа "a" і "b", ми говоримо, що "a" ділиться "b", якщо існує ціле число "c", таке, що b = a * c.

Одна з властивостей подільності говорить нам, що якщо "a" і "b" ділиться на "c", то віднімання "ab" також ділиться.

Нехай Z - це 4-розрядне ціле число; тому ми можемо записати Z як Z = ABCD.

Використовуючи канонічну добавку розкладання, ми маємо:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Зрозуміло, що A * 1000 + B * 100 + C * 10 ділиться на 5. Тому ми маємо, що Z ділиться на 5, якщо Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) ділиться на 5.

Але Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D і D - це одноцифрове число, тож єдиним способом, щоб воно було розділене на 5, - це 0 або 5.

Тому Z ділиться на 5, якщо D = 0 або D = 5.

Зауважимо, що якщо Z має n цифр, то доказ точно такий же, він змінюється лише тим, що зараз ми будемо писати Z = A ₁ A ₂ … A _n, а метою було б довести, що A _n дорівнює нулю або п'яти.

Перегородки

Ми кажемо, що розділення на натуральне ціле - це один із способів записувати число у вигляді суми натуральних чисел.

Різниця між адитивним розкладанням і розділом полягає в тому, що, хоча перший прагне, щоб принаймні його можна було розкласти на два додатки або більше, розділ не має цього обмеження.

Таким чином, ми маємо наступне:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Вище наведені розділи з 5.

Тобто, ми маємо, що кожне адитивне розкладання є розділом, але не кожен розділ - це обов'язково адитивне розкладання.

В теорії чисел основна теорема арифметики гарантує, що кожне ціле число може бути однозначно записане як добуток простих чисел.

При вивченні розділів мета полягає в тому, щоб визначити, у скільки способів може бути записане додатне ціле число як сума інших цілих чисел. Тому ми визначаємо функцію розділення, представлену нижче.

Визначення

Функція розподілу p (n) визначається як кількість способів, що додатне ціле число n може бути записане у вигляді суми натуральних чисел.

Повертаючись до прикладу 5, маємо, що:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Таким чином, p (5) = 7.

Графіка

Як розділи, так і додаткові розклади числа n можуть бути представлені геометрично. Припустимо, ми маємо адитивне розкладання n. У цьому розкладі додатки можуть бути впорядковані таким чином, щоб члени суми були впорядковані від найменшого до найбільшого. Отже, добре:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _r з

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤… ≤ a _r .

Ми можемо графікувати це розкладання наступним чином: у першому рядку відзначаємо _1- точку, потім у наступному відмічаємо _2- точки тощо, поки не досягнемо _r .

Візьмемо для прикладу число 23 та його наступне розкладання:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Ми замовляємо це розкладання і маємо:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Його відповідним графіком буде: