НЕРІВНІСТЬ ТРИКУТНИКА: ДОКАЗ, ПРИКЛАДИ, РОЗВ’ЯЗАНІ ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Його називають неоднаковим властивістю трикутника, що відповідають двом реальним числам, що складаються з абсолютного значення їх суми, завжди меншої або дорівнює сумі їх абсолютних значень. Ця властивість також відома як нерівність Мінковського або трикутна нерівність.

Ця властивість чисел називається трикутною нерівністю, оскільки в трикутниках буває так, що довжина однієї сторони завжди менша або дорівнює сумі двох інших, хоча ця нерівність не завжди застосовується в області трикутників.

Малюнок 1. Абсолютне значення суми двох чисел завжди менше або дорівнює сумі їх абсолютних значень. (Підготував Р. Перес)

Існує кілька доказів трикутної нерівності в дійсних числах, але в цьому випадку ми виберемо одне на основі властивостей абсолютного значення і двочленного квадрата.

Теорема: Для кожної пари чисел a і b, що належать дійсних чисел, ми маємо:

- a + b - ≤ - a - + - b -

Демонстрація

Почнемо з розгляду першого члена нерівності, який буде розміщений у квадраті:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (рівняння 1)

На попередньому кроці ми використовували властивість, що будь-яке число в квадраті дорівнює абсолютному значенню вказаного квадрата, тобто: -x- ^ 2 = x ^ 2. Також було використано квадратне біноміальне розширення.

Кожне число x менше або дорівнює його абсолютній величині. Якщо число додатне, воно дорівнює, але якщо число від’ємне, воно завжди буде менше, ніж додатне число. У цьому випадку власне абсолютне значення, тобто можна констатувати, що x ≤ - x -.

Продукт (ab) є числом, тому застосовується, що (ab) ≤ - ab -. Коли ця властивість застосовується до (рівняння 1), ми маємо:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (рівняння 2)

Враховуючи, що - ab - = - a - b - la (рівняння 2) можна записати так:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (рівняння 3)

Але оскільки ми говорили раніше, що квадрат числа дорівнює абсолютному значенню числа у квадраті, то рівняння 3 можна переписати так:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (рівняння 4)

У другому члені нерівності визнається чудовий продукт, який при застосуванні призводить до:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (рівняння 5)

У попередньому виразі слід зазначити, що значення, які мають бути розміщені в квадраті обох членів нерівності, є позитивними, тому слід також переконатися, що:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (рівняння 6)

Попередній вираз - це саме те, що ви хотіли продемонструвати.

Приклади

Далі ми перевіримо трикутну нерівність на кількох прикладах.

Приклад 1

Ми беремо значення a = 2 і значення b = 5, тобто обидва додатні числа і перевіряємо, чи задоволена нерівність чи ні.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Рівність перевірено, тому теорема про нерівність трикутника виконана.

Приклад 2

Вибираються наступні значення a = 2 і b = -5, тобто додатне число, а інше від’ємне, перевіряємо, чи виконується нерівність чи ні.

- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

Нерівність задоволена, тому теорема трикутної нерівності перевірена.

Приклад 3

Беремо значення a = -2 та значення b = 5, тобто від’ємне число та інше додатне, перевіряємо, чи нерівність виконується чи ні.

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Нерівність перевірено, тому теорема виконана.

Приклад 4

Вибираються наступні значення a = -2 та b = -5, тобто обидва від’ємні числа, і ми перевіряємо, чи відповідає нерівність чи ні.

- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Рівність перевірено, тому теорема про нерівність Мінковського виконана.

Приклад 5

Беремо значення a = 0 і значення b = 5, тобто число нуль та інше додатне, потім перевіряємо, чи задоволена нерівність чи ні.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Рівність виконується, тому теорема про нерівність трикутника перевірена.

Приклад 6

Беремо значення a = 0 і значення b = -7, тобто число нуль, а інше додатне, потім перевіряємо, чи задоволена нерівність чи ні.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Рівність перевірено, тому теорема трикутної нерівності виконана.

Розв’язані вправи

У наступних вправах геометрично зображте нерівність трикутника або нерівність Міньковського для чисел a і b.

Число a буде представлено у вигляді відрізка на осі X, його початок O збігається з нулем осі X, а інший кінець відрізка (у точці P) буде знаходитись у позитивному напрямку (праворуч) від осі X, якщо a > 0, але якщо a <0 це буде в бік негативного напрямку осі X, стільки одиниць, скільки вказує його абсолютне значення.

Аналогічно, число b буде представлено у вигляді відрізка, початок якого знаходиться в точці P. Інший крайній, тобто точка Q буде праворуч від P, якщо b додатний (b> 0), а точка Q буде -b - одиниці зліва від P, якщо b <0.

Вправа 1

Графікуйте нерівність трикутника при a = 5 і b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, де c = a + b.

Вправа 2

Графікуйте трикутну нерівність при a = 5 і b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, де c = a + b.

Вправа 3

Графічно показати нерівність трикутника при a = -5 та b = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, де c = a + b.

Вправа 4

Графічно побудуйте трикутну нерівність при a = -5 та b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, де c = a + b.

Список літератури

1. Е. Уайтсітт. (1980). Булева алгебра та її застосування. Редакційна компанія Continental CA
2. Мішель О 'Searcoid. (2003) Елементи абстрактного аналізу. . Кафедра математики. Університетський коледж Дубліна, Beldfield, Dublind.
3. Дж. Ван Вік. (2006) Математика та інженерія в галузі інформатики. Інститут комп'ютерних наук та технологій. Національне бюро стандартів. Вашингтон, округ Колумбія, 20234
4. Ерік Леман. Математика для інформатики. Google Inc.
5. F Томсон Лейтон (1980). Обчислення. Кафедра математики та лабораторії обчислювальної техніки та AI, Массачусетський технологічний інститут.
6. Академія хана. Теорема нерівності трикутника. Відновлено з: khanacademy.org
7. Вікіпедія. Трикутна нерівність. Відновлено: es. wikipedia.com