- Формула
- Евклідова відстань у двох вимірах
- Неевклідові поверхні
- Евклідова відстань у n вимірах
- Як обчислити евклідову відстань
- Приклад
- Список літератури
Евклідова відстань є позитивним числом , яке вказує відстань між двома точками в просторі , де аксіоми і теореми геометрії Евкліда будуть виконані.
Відстань між двома точками A і B в евклідовому просторі - це довжина вектора AB, що належить єдиній прямій, яка проходить через ці точки.
Фігура 1 . Одновимірний евклідовий простір, утворений лінією (OX). На вказаному просторі показано кілька точок, їх координати та відстані. (Підготував Рікардо Перес).
Простір, який люди сприймають і куди ми рухаємось, є тривимірним (3-D) простором, де виконуються аксіоми та теореми геометрії Евкліда. Двовимірні підпростори (площини) та одновимірні підпростори (лінії) містяться в цьому просторі.
Евклідові простори можуть бути одновимірними (1-D), двовимірними (2-D), тривимірними (3-D) або n-мірними (nD).
Точки в одновимірному просторі X - це ті, що належать до орієнтованої лінії (OX), напрям від O до X - позитивний напрямок. Для розташування точок на цій прямій використовується декартова система, яка складається з присвоєння числа кожній точці лінії.
Формула
Евклідова відстань d (A, B) між точками A і B, розташованими на прямій, визначається як квадратний корінь квадрата різниці в їх координатах X:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Це визначення гарантує: відстань між двома точками завжди є додатною величиною. І що відстань між A і B дорівнює відстані між B і A.
На малюнку 1 показано одновимірний евклідовий простір, утворений лінією (OX) та кількома точками на зазначеній прямій. Кожна точка має координату:
Точка A має координату XA = 2,5, точка B координату XB = 4, а точка C координату XC = -2,5
d (A, B) = √ ((4 - 2.5) 2) = 1.5
d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5
d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0
Евклідова відстань у двох вимірах
Двовимірний евклідовий простір - це площина. Точки евклідової площини відповідають аксіомам евклідової геометрії, наприклад:
- Одина лінія проходить через дві точки.
- Три точки на площині утворюють трикутник, внутрішній кут якого завжди дорівнює 180º.
- У правильному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів його ніжок.
У двох вимірах точка має координати X і Y.
Наприклад, точка P має координати (XP, YP) і точку Q координати (XQ, YQ).
Евклідова відстань між точкою P і Q визначається наступною формулою:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Слід зазначити, що ця формула еквівалентна теоремі Піфагора, як показано на малюнку 2.
Малюнок 2. Відстань між двома точками P і Q у площині відповідає теоремі Піфагора. (Підготував Рікардо Перес).
Неевклідові поверхні
Не всі двовимірні простори відповідають евклідовій геометрії. Поверхня сфери - двовимірний простір.
Кути трикутника на сферичній поверхні не складають 180 °, і при цьому теорема Піфагора не виконується, тому сферична поверхня не відповідає аксіомам Евкліда.
Евклідова відстань у n вимірах
Поняття координат можна поширити на більші розміри:
- У 2-D точці P є координати (XP, YP)
- У 3-D точка Q має координати (XQ, YQ, ZQ)
- У 4-D точка R матиме координати (XR, YR, ZR, WR)
- У nD точка P матиме координати (P1, P2, P3,… .., Pn)
Відстань між двома точками P і Q n-мірного евклідового простору обчислюється за такою формулою:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)
Локус усіх точок Q у n-мірному евклідовому просторі, рівновіддаленому від іншої нерухомої точки P (у центрі), утворюють n-мірну гіперсферу.
Як обчислити евклідову відстань
Далі показано, як обчислюється відстань між двома точками, розташованими в тривимірному просторі Евкліда.
Припустимо, точка A декартових координат x, y, z, задана A :( 2, 3, 1) і точка B координат B :( -3, 2, 2).
Ми хочемо визначити відстань між цими точками, для яких використовується загальна залежність:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5196
Приклад
Є дві точки P і Q. Точка P декартових координат x, y, z, задана P :( 2, 3, 1), і точка Q координат Q :( -3, 2, 1).
Попрошується знайти координати середини M відрізка, що з'єднує дві точки.
Невідома точка М передбачається мати координати (X, Y, Z).
Оскільки M є середньою точкою, має бути правдою, що d (P, M) = d (Q, M), то d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 також має бути істинним:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Оскільки в цьому випадку третій член є рівним для обох членів, попередній вираз спрощує:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Потім у нас є рівняння з двома невідомими X і Y. Для вирішення задачі потрібно ще одне рівняння.
Точка M належить до прямої, яка проходить через точки P і Q, яку ми можемо обчислити так:
Спочатку знаходимо вектор директора PQ рядка: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.
Тоді PM = OP + a PQ , де OP - вектор положення точки P і є параметром, що належить до реальних чисел.
Наведене рівняння відоме як векторне рівняння лінії, яка в декартових координатах приймає такий вигляд:
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>
Прирівнюючи відповідні компоненти, маємо:
X - 2 = 2-5 а; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0
Тобто X = 4 - 5a, Y = 6 - a, нарешті Z = 1.
Він заміщений у квадратичному виразі, що відноситься X до Y:
(4 - 5а - 2) ^ 2 + (6 - а - 3) ^ 2 = (4 - 5а + 3) ^ 2 + (6 - а - 2) ^ 2
Це спрощено:
(2 - 5а) ^ 2 + (3 -а) ^ 2 = (7 - 5а) ^ 2 + (4 - а) ^ 2
Зараз розгортається:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Це спрощено, скасовуючи подібні терміни в обох членах:
4 - 20а + 9 - 6а = 49 - 70а + 16 - 8а
Параметр a очищається:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52, в результаті чого a = 1.
Тобто X = 4 - 5, Y = 6 - 1, нарешті Z = 1.
Нарешті ми отримуємо декартові координати середньої точки M відрізка:
М: (-1, 5, 1).
Список літератури
- Леманн К. (1972) Аналітична геометрія. UTEHA.
- Суперпроф. Відстань між двома точками. Відновлено з: superprof.es
- УНАМ. Відстань між афінними підлінійними колекторами. Відновлено з: prometeo.matem.unam.mx/
- Вікіпедія. Евклідова відстань. Відновлено з: es.wikipedia.com
- Вікіпедія. Евклідовий простір. Відновлено з: es.wikipedia.com