ДИСКРЕТНИЙ РОЗПОДІЛ ЙМОВІРНОСТЕЙ: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2025

В розподілу ймовірностей дискретне є функцією , яка зіставляє кожен елемент X (S) = {x1, x2, …, х …}, де Х являє собою дискретна випадкова величина з урахуванням і S являє собою вибіркове простір, ймовірність того, що зазначена подія відбувається. Ця функція f X (S), визначена як f (xi) = P (X = xi), іноді називається функцією маси ймовірностей.

Ця маса ймовірностей зазвичай представлена ​​у вигляді таблиці. Оскільки X - дискретна випадкова величина, X (S) має кінцеву кількість подій або незліченну нескінченність. Серед найпоширеніших дискретних розподілів ймовірностей маємо рівномірний розподіл, біноміальний розподіл та розподіл Пуассона.

характеристики

Функція розподілу ймовірностей повинна відповідати наступним умовам:

Крім того, якщо X приймає лише кінцеве число значень (наприклад, x1, x2, …, xn), тоді p (xi) = 0, якщо i> ny, отже, нескінченний ряд умови b стає a кінцевий ряд.

Ця функція також виконує такі властивості:

Нехай B - подія, пов'язана зі випадковою змінною X. Це означає, що B міститься в X (S). Зокрема, припустимо, що B = {xi1, xi2, …}. Таким чином:

Іншими словами, ймовірність події B дорівнює сумі ймовірностей окремих результатів, пов'язаних з B.

З цього можна зробити висновок, що якщо a <b, події (X ≤ a) і (a <X ≤ b) взаємно виключаються, і, крім того, їх об'єднання є подія (X ≤ b), тож у нас є:

Типи

Рівномірний розподіл на n балів

Кажуть, що випадкова величина X слідує за розподілом, що характеризується рівномірністю в n точках, якщо кожному значенню присвоюється однакова ймовірність. Її вірогідна масова функція:

Припустимо, у нас є експеримент, який має два можливі результати, це може бути кидання монети, результатами якого є голова чи хвостик, або вибір цілого числа, результат якого може бути парним чи непарним; цей тип експерименту відомий як тести Бернуллі.

Загалом два можливі результати називаються успіхом і невдачею, де р - вірогідність успіху, а 1-р - ймовірністю невдачі. Ми можемо визначити ймовірність x успіхів у n тестах Бернуллі, незалежних один від одного, з наступним розподілом.

Біноміальний розподіл

Саме функція представляє ймовірність отримання х успіхів у n незалежних тестах Бернуллі, ймовірність успіху яких p. Її вірогідна масова функція:

Наступний графік представляє функцію маси ймовірності для різних значень параметрів біноміального розподілу.

Наступне розподіл завдячує своєю назвою французькому математику Симеону Пуассону (1781-1840), який отримав його як межу біноміального розподілу.

Розподіл Пуассона

Кажуть, що випадкова величина X має пуассоновим розподілом параметра λ, коли вона може приймати додатні цілі значення 0,1,2,3, … з такою ймовірністю:

У цьому виразі λ - середня кількість, що відповідає виникненню події за кожну одиницю часу, а x - кількість разів, що відбулася подія.

Її вірогідна масова функція:

Ось графік, який представляє функцію маси ймовірності для різних значень параметрів розподілу Пуассона.

Зауважимо, що доки кількість успіхів невелика і кількість випробувань, проведених на біномальному розподілі, висока, ми завжди можемо наближати ці розподіли, оскільки розподіл Пуассона є межею біноміального розподілу.

Основна відмінність цих двох розподілів полягає в тому, що, хоча двочлен залежить від двох параметрів, а саме n і p, Пуассон залежить лише від λ, який іноді називають інтенсивністю розподілу.

Поки ми говорили лише про розподіл ймовірностей для випадків, коли різні експерименти не залежать один від одного; тобто коли на результат одного не впливає якийсь інший результат.

Коли це відбувається у випадку проведення експериментів, які не є незалежними, гіпергеометричний розподіл дуже корисний.

Гіпергеометричний розподіл

Нехай N - загальна кількість об'єктів кінцевої множини, з яких ми можемо певним чином ідентифікувати k з них, утворюючи, таким чином, підмножину K, доповнення якої утворене рештою елементами Nk.

Якщо ми випадково вибираємо n об'єктів, випадкова величина X, яка представляє кількість об'єктів, що належать K у вказаному виборі, має гіпергеометричний розподіл параметрів N, n та k. Її вірогідна масова функція:

Наведений нижче графік представляє функцію маси ймовірностей для різних значень параметрів гіпергеометричного розподілу.

Розв’язані вправи

Перша вправа

Припустимо, що ймовірність того, що радіотрубка (розміщена в певному типі обладнання) буде працювати більше 500 годин, дорівнює 0,2. Якщо випробувано 20 трубок, яка ймовірність того, що саме k з них буде працювати більше 500 годин, k = 0, 1,2,…, 20?

Рішення

Якщо X - кількість трубок, які працюють більше 500 годин, будемо вважати, що X має біноміальне розподіл. Так

І так:

Для k≥11 ймовірність менше 0,001

Таким чином, ми можемо бачити, як збільшується ймовірність того, що k цих робіт більше 500 годин зростає, поки не досягне свого максимального значення (при k = 4) і потім не почне зменшуватися.

Друга вправа

Монета кидається 6 разів. Коли результат дорогий, ми скажемо, що це успіх. Яка ймовірність того, що точно підійдуть дві голови?

Рішення

Для цього випадку маємо, що n = 6, і ймовірність успіху і невдачі p = q = 1/2

Тому ймовірність надання двох голів (тобто k = 2) є

Третя вправа

Яка ймовірність знайти хоча б чотири голови?

Рішення

Для цього випадку маємо, що k = 4, 5 або 6

Третя вправа

Припустимо, 2% виробів, виготовлених на заводі, несправні. Знайдіть ймовірність P, що у вибірці з 100 предметів є три несправні предмети.

Рішення

У цьому випадку ми можемо застосувати біноміальний розподіл для n = 100 і p = 0,02, отримавши в результаті:

Однак, оскільки р невеликий, ми використовуємо наближення Пуассона при λ = np = 2. Так,

Список літератури

1. Кай Лай Чунг. Елементарна теорія спроможності зі стохастичними процесами. Springer-Verlag New York Inc
2. Кеннет.H. Розен. Дискретна математика та її застосування. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Пол Л. Мейєр. Імовірність та статистичні додатки. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Сеймур Ліпшуц, к.т.н. 2000 р. Розв’язані задачі дискретної математики. McGRAW-HILL.
5. Сеймур Ліпшуц, к.т.н. Теорія та ймовірнісні проблеми. McGRAW-HILL.