СИНТЕТИЧНИЙ ПОДІЛ: МЕТОД І РОЗВ’ЯЗАНІ ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Синтетичне поділ є простим способом поділу полінома Р (х) будь-який з вигляду D (X) = х - с. Наприклад, многочлен P (x) = (x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1) можна представити як множення двох найпростіших многочленів (x + 1) і (x ⁴ + 2x ³ ).

Це дуже корисний інструмент, оскільки, крім того, що дозволяє нам ділити многочлени, він також дозволяє оцінити поліном P (x) на будь-яке число c, що, в свою чергу, нам точно говорить, чи вказане число є нулем многочлена чи ні.

Завдяки алгоритму ділення ми знаємо, що якщо у нас є два непостійні многочлени P (x) і d (x), існують унікальні многочлени q (x) і r (x), так що це правда, що P (x) = q (x) d (x) + r (x), де r (x) дорівнює нулю або менше q (x). Ці многочлени відомі як коефіцієнт і залишок або залишок відповідно.

У тих випадках, коли многочлен d (x) має вигляд x- c, синтетичний поділ дає нам короткий спосіб виявити, хто такі q (x) та r (x).

Метод синтетичного поділу

Нехай P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + … + a ₁ x + a ₀ поліном, який ми хочемо розділити, і d (x) = xc дільник. Для поділу методом синтетичного поділу ми діємо так:

1- Запишемо коефіцієнти P (x) у перший рядок. Якщо якась потужність X не з’являється, ми ставимо нуль як її коефіцієнт.

2- У другому ряду зліва від _{n n} розміщуємо c, і проводимо лінії поділу, як показано на наступному малюнку:

3- Опускаємо провідний коефіцієнт до третього ряду.

У цьому виразі b _n-1 = a _n

4- Помножуємо c на провідний коефіцієнт b _n-1 і записуємо результат у другий ряд, але один стовпець праворуч.

5- Додаємо стовпець, куди пишемо попередній результат, і розміщуємо результат нижче цієї суми; тобто в тому ж стовпці, третій ряд.

При додаванні ми маємо в результаті _n-1 + c * b _n-1 , який для зручності назвемо b _n-2

6- Помножимо c на попередній результат і запишемо результат праворуч у другий ряд.

7- Повторюємо кроки 5 і 6, поки не досягнемо коефіцієнта в ₀ .

8- Відповідь пишемо; тобто коефіцієнт і решта. Оскільки ми ділимо многочлен ступеня n на многочлен ступеня 1, ми маємо, що коефіцієнт матиме ступінь n-1.

Коефіцієнтами часткового многочлена будуть числа в третьому ряду, крім останнього, який буде залишком або залишком ділення.

Розв’язані вправи

- Приклад 1

Виконайте такий поділ методом синтетичного поділу:

(x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1): (x + 1).

Рішення

Спочатку записуємо коефіцієнти дивіденду так:

Потім пишемо c ліворуч, у другому ряду, разом з розділовими лініями. У цьому прикладі c = -1.

Опускаємо провідний коефіцієнт (у цьому випадку b _n-1 = 1) і множимо його на -1:

Його результат записуємо праворуч у другий ряд, як показано нижче:

Додаємо числа у другий стовпчик:

Помножимо 2 на -1 і запишемо результат у третій стовпчик, другий рядок:

Додаємо в третій стовпчик:

Ми продовжуємо так само, поки не досягнемо останнього стовпця:

Таким чином, ми маємо, що останнє отримане число - це залишок ділення, а решта числа - коефіцієнти многочлена коефіцієнта. Це написано так:

Якщо ми хочемо перевірити правильність результату, достатньо переконатися, що таке рівняння є істинним:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Тож ми можемо перевірити правильність отриманого результату.

- Приклад 2

Виконайте наступне ділення многочленів методом синтетичного поділу

(7x ³ -x + 2): (x + 2)

Рішення

У цьому випадку ми маємо, що додаток x ² не з’являється, тому запишемо 0 як його коефіцієнт. Таким чином, многочлен буде 7x ³ + 0x ² -x + 2.

Пишемо їх коефіцієнти підряд, це:

Напишемо значення C = -2 в лівій частині другого ряду і проведемо лінії поділу.

Опускаємо провідний коефіцієнт b _n-1 = 7 і множимо його на -2, записуючи його результат у другий ряд праворуч.

Додаємо та продовжуємо, як було пояснено раніше, до досягнення останнього терміну:

У цьому випадку залишок - r (x) = - 52, і отриманий коефіцієнт q (x) = 7x ² -14x + 27.

- Приклад 3

Інший спосіб використання синтетичного поділу полягає в наступному: припустимо, у нас є многочлен P (x) ступеня n, і ми хочемо знати, яке значення, оцінюючи його при x = c.

За алгоритмом ділення ми можемо записати поліном P (x) наступним чином:

У цьому виразі q (x) і r (x) є коефіцієнтом і рештою відповідно. Тепер, якщо d (x) = x- c, при оцінці на c у поліномі отримуємо наступне:

Тому залишається лише знайти ar (x), і це ми можемо зробити завдяки синтетичному поділу.

Наприклад, у нас є многочлен P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37, і ми хочемо знати, яке його значення, оцінюючи його при x = 5. Для цього виконуємо поділ між P (x) та d (x) = x -5 методом синтетичного поділу:

Після виконання операцій ми знаємо, що P (x) можемо записати таким чином:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ –x ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Тому, оцінюючи його, ми повинні:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

Р (5) = 0 + 4253 = 4253

Як ми бачимо, можна знайти синтетичне ділення, щоб знайти значення полінома, оцінивши його на c, а не просто замінивши c на x.

Якби ми спробували оцінити P (5) традиційним способом, ми були б змушені виконати деякі розрахунки, які часто стають нудними.

- Приклад 4

Алгоритм поділу на поліноми справедливий і для поліномів зі складними коефіцієнтами, і, як наслідок, ми маємо, що метод синтетичного поділу також працює для таких многочленів. Приклад ми побачимо нижче.

Ми будемо використовувати метод синтетичного ділення, щоб показати, що z = 1+ 2i - це нуль полінома P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); тобто решта ділення P (x) на d (x) = x - z дорівнює нулю.

Ми поступаємо, як і раніше: у перший рядок записуємо коефіцієнти P (x), потім у другому пишемо z і малюємо лінії поділу.

Ми проводимо поділ, як і раніше; це:

Ми можемо спостерігати, що залишок дорівнює нулю; тому робимо висновок, що z = 1+ 2i - це нуль P (x).

Список літератури

1. Бальдор Ауреліо. Алгебра Grupo редакційна патрія.
2. Демана, Уайтс, Фолі та Кеннеді. Попередній розрахунок: Графічне, числове, алгебраїчне 7-е видання Пірсона.
3. Flemming W & Varserg D. Алгебра та тригонометрія з аналітичною геометрією. Зал Prentice
4. Майкл Салліван. Прекалькуляція 4-е вид. Пірсон освіта.
5. Червоний. Армандо О. Алгебра 1 6-е вид. Атеней.