ПОЛІНОМІЧНІ РІВНЯННЯ (З РОЗВ’ЯЗАНИМИ ВПРАВАМИ) - МАТЕМАТИКА - 2025

У поліноміальних рівняннях є твердженням , що підвищує рівність двох виразів або членів, в яких хоча б один з термінів , які складають до кожної сторони рівності є многочлени Р (х). Ці рівняння названі відповідно до ступеня їх змінних.

Взагалі рівняння - це твердження, яке встановлює рівність двох виразів, де принаймні в одному з них є невідомі величини, які називаються змінними або невідомими. Хоча існує багато типів рівнянь, вони, як правило, класифікуються на два типи: алгебраїчні та трансцендентні.

Поліноміальні рівняння містять лише алгебраїчні вирази, які можуть мати одне або декілька невідомих, що беруть участь у рівнянні. Відповідно до показника (ступеня), який вони мають, їх можна класифікувати на: перший ступінь (лінійний), другий ступінь (квадратичний), третій ступінь (кубічний), четвертий ступінь (квартний), ступінь більший або дорівнює п'яти і нераціональний.

характеристики

Поліномічні рівняння - це вирази, які утворені рівністю між двома многочленами; тобто за кінцевими сумами множення між невідомими значеннями (змінними) та фіксованими числами (коефіцієнтами), де змінні можуть мати показники, і їх значення може бути додатним цілим числом, включаючи нуль.

Експоненти визначають ступінь або тип рівняння. Термін у виразі з найвищим показником буде представляти абсолютний ступінь многочлена.

Поліноміальні рівняння також відомі як алгебраїчні рівняння, їх коефіцієнти можуть бути дійсними або складними числами, а змінні - невідомі числа, представлені буквою, наприклад: "x".

Якщо замінивши значення для змінної "x" в P (x) результат дорівнює нулю (0), то, як кажуть, це значення задовольняє рівнянню (це рішення), і його, як правило, називають коренем многочлена.

Розробляючи поліноміальне рівняння, ви хочете знайти всі корені чи рішення.

Типи

Існує кілька типів поліноміальних рівнянь, які диференційовані за кількістю змінних, а також за ступенем їх показника.

Таким чином, поліномні рівняння - де його перший член є многочленом, який має єдине невідоме, враховуючи, що його ступінь може бути будь-яким натуральним числом (n), а другий член - нуль-, можна виразити так:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Де:

- a _n, a _n-1 і ₀ - реальні коефіцієнти (числа).

- a _n відрізняється від нуля.

- Експонент n - це додатне ціле число, що представляє ступінь рівняння.

- x - змінна або невідома для пошуку.

Абсолютна чи більша ступінь поліноміального рівняння - це показник з найвищим значенням серед усіх тих, хто утворює многочлен; таким чином, рівняння класифікуються як:

Перший клас

Поліноміальні рівняння першого ступеня, також відомі як лінійні рівняння, - це ті, у яких ступінь (найбільший показник) дорівнює 1, многочлен має вигляд P (x) = 0; y складається з лінійного члена і незалежного. Він пишеться так:

ax + b = 0.

Де:

- a і b - дійсні числа, а ≠ 0.

- сокира - лінійний член.

- b - самостійний термін.

Наприклад, рівняння 13x - 18 = 4x.

Для розв’язання лінійних рівнянь всі доданки, що містять невідоме x, повинні бути передані в одну сторону рівності, а ті, що їх не мають, переходять на іншу сторону, щоб вирішити це і отримати рішення:

13х - 18 = 4х

13х = 4х + 18

13х - 4х = 18

9х = 18

х = 18 ÷ 9

х = 2.

Таким чином, дане рівняння має лише один розв’язок або корінь, який x = 2.

Другий клас

Поліноміальні рівняння другого ступеня, відомі також як квадратичні рівняння, це ті, у яких ступінь (найбільший показник) дорівнює 2, многочлен має вигляд P (x) = 0 і складається з квадратичного члена , одна лінійна і одна незалежна. Він виражається так:

ось ² + bx + c = 0.

Де:

- a, b і c - дійсні числа і a ≠ 0.

- ось ² - квадратичний член, а "а" - коефіцієнт квадратичного члена.

- bx - лінійний член, а "b" - коефіцієнт лінійного члена.

- c - самостійний термін.

Розчинник

Як правило, рішення цього типу рівнянь задається очищенням x від рівняння, і воно виглядає наступним чином, яке називається роздільним:

Там (b ² - 4ac) називають дискримінантним рівнянням і цей вираз визначає кількість розв’язків, які може мати рівняння:

- Якщо (b ² - 4ac) = 0, рівняння матиме єдине рішення, яке є подвійним; тобто матиме два рівні рішення.

- Якщо (b ² - 4ac)> 0, рівняння матиме два різні реальні рішення.

- Якщо (b ² - 4ac) <0, рівняння не має рішення (воно матиме два різні складні рішення).

Наприклад, у нас є рівняння 4х ² + 10х - 6 = 0, щоб розв’язати його спочатку ідентифікувати доданки a, b і c, а потім підставити його у формулі:

a = 4

b = 10

c = -6.

Є випадки, коли поліноміальні рівняння другого ступеня не мають усіх трьох доданків, і тому вони вирішуються по-різному:

- У випадку, якщо квадратичні рівняння не мають лінійного члена (тобто b = 0), рівняння буде виражено як ax ² + c = 0. Щоб вирішити це, розв’яжіть для x ² і застосуйте квадратні корені до кожного члена , пам’ятаючи, що слід врахувати два можливі ознаки того, що може бути невідоме:

ось ² + с = 0.

x ² = - c ÷ a

Наприклад, 5 x ² - 20 = 0.

5 х ² = 20

х ² = 20 ÷ 5

х = ± √4

х = ± 2

х ₁ = 2.

х ₂ = -2.

- Коли квадратичне рівняння не має самостійного члена (тобто c = 0), рівняння буде виражено як ax ² + bx = 0. Для його розв’язання слід прийняти загальний множник невідомого x у першому члені; Оскільки рівняння дорівнює нулю, правда, що принаймні один із факторів буде дорівнює 0:

ось ² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Таким чином, ви повинні:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Наприклад: у нас є рівняння 5x ² + 30x = 0. Спочатку ми множимо:

5x ² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Створюються два фактори, які є xy (5x + 30). Вважається, що одна з них буде дорівнює нулю, а інша вирішена:

х ₁ = 0.

5х + 30 = 0

5х = -30

х = -30 ÷ 5

х ₂ = -6.

Найвища оцінка

Поліноміальні рівняння вищого ступеня - це ті, що йдуть від третього ступеня і далі, які можна виразити або вирішити загальним поліномним рівнянням для будь-якого ступеня:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Це використовується тому, що рівняння зі ступенем, більшим за два, є результатом факторингу многочлена; тобто виражається як множення многочленів на ступінь один чи більше, але без реальних коренів.

Рішення цих типів рівнянь є прямим, оскільки множення двох факторів буде дорівнює нулю, якщо будь-який із факторів є нульовим (0); отже, кожне з знайдених поліномних рівнянь має бути розв’язане, встановивши кожен їх чинник рівним нулю.

Наприклад, у нас є рівняння третього ступеня (кубічне) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. Щоб вирішити це, необхідно виконати наступні кроки:

- Терміни згруповані:

x ³ + x ² + 4x + 4 = 0

(х ³ + х ² ) + (4х + 4) = 0.

- Члени розкладаються, щоб отримати спільний фактор невідомого:

x ² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x ² + 4) _* (x + 1) = 0.

- Таким чином виходять два коефіцієнти, які повинні дорівнювати нулю:

(х ² + 4) = 0

(х + 1) = 0.

- Видно, що коефіцієнт (x ² + 4) = 0 не матиме реального рішення, тоді як множник (x + 1) = 0. Тож рішення таке:

(х + 1) = 0

х = -1.

Розв’язані вправи

Розв’яжіть такі рівняння:

Перша вправа

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

Рішення

У цьому випадку рівняння виражається як множення многочленів; тобто він враховується. Для її вирішення кожен фактор повинен бути встановлений рівним нулю:

- 2x ² + 5 = 0, воно не має рішення.

- х - 3 = 0

- х = 3.

- 1 + x = 0

- х = - 1.

Таким чином, дане рівняння має два рішення: x = 3 і x = -1.

Друга вправа

х ⁴ - 36 = 0.

Рішення

Дано многочлен, який можна переписати як різницю квадратів для швидшого рішення. Таким чином, рівняння дорівнює:

(x ² + 6) _* (x ² - 6) = 0.

Щоб знайти рішення рівнянь, обидва коефіцієнти встановлюються рівними нулю:

(x ² + 6) = 0, воно не має рішення.

(х ² - 6) = 0

х ² = 6

х = ± √6.

Таким чином, початкове рівняння має два рішення:

x = √6.

x = - √6.

Список літератури

1. Андрес, Т. (2010). Математична олімпіадна ціна. Спрингер. Нью-Йорк.
2. Angel, AR (2007). Елементарна алгебра. Pearson Education,.
3. Баер, Р. (2012). Лінійна алгебра та проективна геометрія. Кур'єрська корпорація.
4. Бальдор, А. (1941). Алгебра. Гавана: Культура.
5. Кастаньо, HF (2005). Математика до розрахунку. Університет Медельїна.
6. Крістобаль Санчес, MR (2000). Олімпійський посібник з підготовки до математики. Університет Яуме І.
7. Креемлі Перес, ML (1984). Вища алгебра І.
8. Массара, NC-L. (дев'ятнадцять дев'яносто п’ять). Математика 3.