ІРРАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА: ІСТОРІЯ, ВЛАСТИВОСТІ, КЛАСИФІКАЦІЯ, ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Ці ірраціональні числа є ті , чиїми вираз має нескінченні цифри десяткових без повторюваного візерунка, отже, не може бути отриманий з співвідношення між будь-якими двома цілими числами.

Серед найбільш відомих ірраціональних чисел:

Малюнок 1. Зверху вниз такі ірраціональні числа: pi, число Ейлера, золоте співвідношення та два квадратних кореня. Джерело: Pixabay.

Серед них, без сумніву, найвідоміший π (pi), але їх набагато більше. Усі вони належать до множини дійсних чисел, яка є числовою множиною, яка об'єднує раціональні та ірраціональні числа.

Еліпсис на малюнку 1 вказує на те, що десяткові числа продовжуються нескінченно, що трапляється в тому, що простір звичайних калькуляторів дозволяє відображати лише декілька.

Якщо ми уважно подивимось, щоразу, коли складемо коефіцієнт між двома цілими числами, ми отримаємо десятковий знак з обмеженими цифрами або, якщо ні, з нескінченними цифрами, в яких повторюється одне або більше. Ну, це не відбувається з нераціональними числами.

Історія ірраціональних чисел

Великий античний математик Піфагор, який народився в 582 році до н.е. в Самосі, Греція, заснував піфагорейську школу думки і відкрив знамениту теорему, яка носить його ім'я. У нас це є ліворуч (вавілоняни, можливо, це знали давно раніше).

Малюнок 2. Теорема Піфагора, застосована до трикутника зі сторонами, рівними 1. Джерело: Pixabay / Wikimedia Commons.

Ну а коли Піфагор (або, можливо, його учень) застосував теорему до правильного трикутника зі сторонами, рівними 1, він знайшов ірраціональне число √2.

Він зробив це так:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

І він одразу зрозумів, що це нове число не походить із коефіцієнта між двома іншими натуральними числами, які були відомими на той час.

Тому він назвав це ірраціональним, і відкриття викликало велику тривогу і здивування серед піфагорійців.

Властивості ірраціональних чисел

-The безліч всіх ірраціональних чисел позначається буквою I , а іноді Q * або Q ^C . Об’єднання між ірраціональними числами I або Q * та раціональними числами Q, породжує множину дійсних чисел R.

-З ірраціональними числами можна виконувати відомі арифметичні операції: додавання, віднімання, множення, ділення, розширення можливостей тощо.

-Поділення на 0 також не визначається між ірраціональними числами.

-Сума і добуток між ірраціональними числами не обов'язково є іншим ірраціональним числом. Наприклад:

√2 x √8 = √16 = 4

І 4 - це нераціональне число.

-Втім, сума раціонального числа плюс ірраціональне число дає ірраціональний результат. Таким чином:

1 + √2 = 2,41421356237…

-Продукт раціонального числа, відмінного від 0 ірраціональним числом, також є нераціональним. Давайте розглянемо цей приклад:

2 x √2 = 2.828427125…

-Зворот ірраціонального призводить до іншого ірраціонального числа. Спробуємо кілька:

1 / √2 = 0.707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Ці числа цікаві тим, що вони також є значеннями деяких тригонометричних співвідношень відомих кутів. Більшість тригонометричних співвідношень є ірраціональними числами, але є винятки, такі як sin 30º = 0,5 = ½, що є раціональним.

-У сумі виконуються комутативні та асоціативні властивості. Якщо a і b - два ірраціональних числа, це означає, що:

a + b = b + a.

А якщо c - інше ірраціональне число, то:

(a + b) + c = a + (b + c).

-Разподільча властивість множення відносно додавання є ще однією відомою властивістю, яка також стосується ірраціональних чисел. В цьому випадку:

а. (b + c) = ab + ac

-У ірраціонального а є своя протилежність: -а. Коли їх додають разом, результат дорівнює 0:

a + (- a) = 0

-Між двома різними раціоналами існує хоча б одне ірраціональне число.

Розташування ірраціонального числа на реальній лінії

Реальна лінія - це горизонтальна лінія, де знаходяться дійсні числа, важливою складовою яких є ірраціональні числа.

Щоб знайти ірраціональне число на реальній прямій, в геометричній формі, ми можемо використовувати теорему Піфагора, лінійку і компас.

Як приклад, ми знайдемо √5 на дійсній прямій, для якої намалюємо правильний трикутник зі сторонами x = 2 та y = 1, як показано на малюнку:

Малюнок 3. Метод знаходження ірраціонального числа на реальній прямій. Джерело: Ф. Сапата.

За теоремою Піфагора гіпотенуза такого трикутника:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Тепер компас ставиться з точкою в 0, де також одна з вершин правильного трикутника. Точка олівця для компаса повинна бути у вершині А.

Малюється окружність дуги, яка прорізається до реальної лінії. Оскільки відстань між центром окружності та будь-якою точкою на ньому є радіусом, рівним √5, то точка перетину також знаходиться далеко √5 від центру.

З графіка видно, що √5 знаходиться в межах від 2 до 2,5. Калькулятор дає нам приблизне значення:

√5 = 2,236068

І так, побудувавши трикутник з відповідними сторонами, можна розмістити інші ірраціональні, наприклад √7 та інші.

Класифікація ірраціональних чисел

Ірраціональні числа класифікуються на дві групи:

-Альгебраїчний

-Трансцендентальний або трансцендентальний

Алгебраїчні числа

Алгебраїчні числа, які можуть бути або не ірраціональні, - це рішення поліноміальних рівнянь, загальною формою яких є:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

Прикладом многочленного рівняння є таке квадратичне рівняння:

x ³ - 2x = 0

Неважко показати, що ірраціональне число √2 є одним із розв’язків цього рівняння.

Трансцендентні числа

З іншого боку, трансцендентні числа, хоча вони ірраціональні, ніколи не виникають як розв’язок поліномного рівняння.

Трансцендентні числа, які найчастіше зустрічаються у прикладній математиці, становлять π, через його зв’язок із окружністю та числом e, або число Ейлера, що є основою природних логарифмів.

Вправа

Сірий квадрат розміщується на чорному квадраті у положенні, зазначеному на малюнку. Площа чорного квадрата, як відомо, становить 64 см ² . Скільки дорівнюють довжини обох квадратів?

Малюнок 4. Два квадрати, з яких ми хочемо знайти довжину сторін. Джерело: Ф. Сапата.

Відповісти

Площа квадрата зі стороною L дорівнює:

A = L ²

Оскільки чорний квадрат має 64 см ² за площею, його сторона повинна бути 8 див.

Це вимірювання те саме, що діагональ сірого квадрата. Застосовуючи теорему Піфагора до цієї діагоналі і пам’ятаючи, що сторони квадрата вимірюють однакові, у нас буде:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Де L _g - сторона сірого квадрата.

Тому: 2L _g ² = 8 ²

Застосовуючи квадратний корінь до обох сторін рівності:

L _g = (8 / √2) см

Список літератури

1. Карена, М. 2019. Доуніверситетський посібник з математики. Національний університет Літоралу.
2. Фігера, Ж. 2000. Математика 9. Ступінь. Видання CO-BO
3. Хіменес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
4. Освітній портал. Ірраціональні числа та їх властивості. Відновлено з: portaleducativo.net.
5. Вікіпедія. Ірраціональні числа. Відновлено з: es.wikipedia.org.