НУЛЬОВИЙ КУТ: ВИЗНАЧЕННЯ ТА ХАРАКТЕРИСТИКИ, ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Кут нуль - один, міра дорівнює 0, як у градусах , а в радіанах або іншої системи вимірювання кута. Тому йому не вистачає ширини або розкриття, як утворилося між двома паралельними лініями.

Хоча його визначення звучить досить просто, нульовий кут дуже корисний у багатьох фізичних та інженерних програмах, а також у навігації та дизайні.

Малюнок 1. Між швидкістю і прискоренням автомобіля існує нульовий кут, тому машина їде все швидше і швидше. Джерело: Wikimedia Commons.

Існують фізичні величини, які повинні бути вирівняні паралельно для досягнення певних ефектів: якщо автомобіль рухається по прямій трасі і між її вектором швидкості v та його вектором прискорення a дорівнює 0º, автомобіль рухається все швидше і швидше, але якщо машина гальма, його прискорення протилежне швидкості (див. рисунок 1).

На наступному малюнку показані різні типи кута, включаючи нульовий кут праворуч. Як видно, кут 0º не має ширини або відкриття.

Малюнок 2. Типи кутів, включаючи нульовий кут. Джерело: Wikimedia Commons. Оріас.

Приклади нульових кутів

Відомо, що паралельні лінії утворюють між собою нульовий кут. Коли у вас горизонтальна лінія, вона паралельна осі x декартової системи координат, тому її нахил щодо неї дорівнює 0. Іншими словами, горизонтальні лінії мають нульовий нахил.

Малюнок 3. Горизонтальні лінії мають нульовий нахил. Джерело: Ф. Сапата.

Також тригонометричні відношення нульового кута дорівнюють 0, 1 або нескінченності. Тому нульовий кут присутній у багатьох фізичних ситуаціях, що передбачають операції з векторами. Такі причини:

-син 0º = 0

-cos 0º = 1

-tg 0º = 0

-сек 0º = 1

-cosec 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

І вони будуть корисні для аналізу деяких прикладів ситуацій, в яких наявність нульового кута відіграє фундаментальну роль:

- Вплив нульового кута на фізичні величини

Векторні доповнення

Коли два вектори паралельні, кут між ними дорівнює нулю, як показано на малюнку 4а вище. У цьому випадку сума обох проводиться шляхом розміщення одна за одною, а величина вектора суми - це сума величин доданків (рисунок 4b).

Малюнок 4. Сума паралельних векторів, в даному випадку кут між ними є нульовим кутом. Джерело: Ф. Сапата.

Коли два вектори паралельні, кут між ними дорівнює нулю, як показано на малюнку 4а вище. У цьому випадку сума обох проводиться шляхом розміщення одна за одною, а величина вектора суми - це сума величин доданків (рисунок 4b)

Крутний момент або крутний момент

Крутний момент або крутний момент викликають обертання тіла. Це залежить від величини прикладеної сили та способу її застосування. Дуже репрезентативним прикладом є гайковий ключ на фігурі.

Для найкращого ефекту повороту сила прикладається перпендикулярно до ручки гайкового ключа вгору чи вниз, але не очікується обертання, якщо сила паралельна рукоятці.

Малюнок 5. Коли кут між векторами положення і сили дорівнює нулю, крутний момент не утворюється, а отже, не виникає ефекту віджиму. Джерело: Ф. Сапата.

Математично крутний момент τ визначається як векторний добуток або поперечний добуток між векторами r (вектор положення) і F (вектор сили) фігури 5:

τ = r x F

Величина крутного моменту становить:

τ = r F sin θ

Θ бути кут між г і F . Коли sin θ = 0 крутний момент дорівнює нулю, в цьому випадку θ = 0º (або також 180º).

Потік електричного поля

Потік електричного поля - це скалярна величина, яка залежить від інтенсивності електричного поля, а також орієнтації поверхні, через яку воно проходить.

На малюнку 6 є кільцева поверхню області А , через яку електричне поле лінії Е прохід . Орієнтація поверхні задається нормальним вектором n . Зліва поле і нормальний вектор утворюють довільний гострий кут θ, в центрі вони утворюють між собою нульовий кут, а праворуч вони перпендикулярні.

Коли E і n перпендикулярні, лінії поля не перетинають поверхню і тому потік дорівнює нулю, тоді як коли кут між E і n дорівнює нулю, лінії повністю перетинають поверхню.

Позначаючи потік електричного поля грецькою літерою Φ (читайте “fi”), його визначення для рівномірного поля, як на малюнку, виглядає так:

Φ = E • n A

Точка посередині обох векторів позначає крапковий продукт або скалярний продукт, який альтернативно визначається наступним чином:

Φ = E • n A = EAcosθ

Жирна та стрілка над буквою - це ресурси для розмежування вектора та його величини, що позначається звичайними літерами. Оскільки cos 0 = 1, потік максимальний, коли E і n паралельні.

Малюнок 6. Потік електричного поля залежить від орієнтації між поверхнею та електричним полем. Джерело: Ф. Сапата.

Вправи

- Вправа 1

Дві сили P і Q діють одночасно на точковий об’єкт X, обидві сили спочатку утворюють між ними кут θ. Що відбувається з величиною результуючої сили, коли θ зменшується до нуля?

Малюнок 7. Кут між двома силами, які діють на тіло, зменшується до моменту його скасування, і в цьому випадку величина отриманої сили набуває свого максимального значення. Джерело: Ф. Сапата.

Рішення

Величина результуючої сили Q + P поступово збільшується до тих пір, поки вона не буде максимальною, коли Q і P повністю паралельні (рисунок 7 справа).

- Вправа 2

Укажіть, чи нульовий кут є рішенням наступного тригонометричного рівняння:

Рішення

Тригонометричне рівняння - це те, в якому невідоме є частиною аргументу тригонометричного відношення. Для вирішення запропонованого рівняння зручно використовувати формулу косинусу подвійного кута:

cos 2x = cos ² x - sin ² x

Тому що таким чином аргумент з лівого боку стає x замість 2x. Так:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4 sin x

З іншого боку, cos ² x + sin ² x = 1, так:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4 sin x

Термін cos ² x скасовується і залишається:

- sin ² x = sin ² x + 4 sin x → - ² sin ² x - 4 sinx = 0 → ² sin ² x + 4 sinx = 0

Тепер робиться наступна змінна зміна: sinx = u і рівняння стає:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

Чиї розв’язки: u = 0 і u = -4. Повертаючи зміни, ми мали б дві можливості: sin x = 0 і sinx = -4. Останнє рішення не є життєздатним, оскільки синус будь-якого кута знаходиться в межах від -1 до 1, тому нам залишається перша альтернатива:

sin x = 0

Тому x = 0º - це рішення, але також діє будь-який кут, синус якого 0, який також може бути 180º (π радіанів), 360º (2 π радіанів) і відповідних негативів.

Найбільш загальним рішенням тригонометричного рівняння є: x = kπ, де k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…. k ціле число.

Список літератури

1. Бальдор, А. 2004. Геометрія площини та простору з тригонометрією. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. Фігероа, Д. (2005). Серія: Фізика для науки та техніки. Том 3. Системи частинок. Під редакцією Дугласа Фігероа (USB).
3. Фігероа, Д. (2005). Серія: Фізика для науки та техніки. Том 5. Електрична взаємодія. Під редакцією Дугласа Фігероа (USB).
4. OnlineMathLearning. Види кутів. Відновлено з: onlinemathlearning.com.
5. Зілл, Д. 2012. Алгебра, тригонометрія та аналітична геометрія. McGraw Hill Interamericana.