ВОСЬМІЧНА СИСТЕМА: ІСТОРІЯ, СИСТЕМА НУМЕРАЦІЇ, ПЕРЕТВОРЕННЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

Вісімкова система є база вісім (8) позиційна системою нумерації; тобто складається з восьми цифр, які є: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 і 7. Отже, кожна цифра восьмеричного числа може мати будь-яке значення від 0 до 7. Октальні числа вони утворюються з двійкових чисел.

Це так тому, що його основа - точна потужність двох (2). Тобто числа, що належать до восьмеричної системи, утворюються, коли вони групуються у три послідовні цифри, упорядковані справа наліво, отримуючи таким чином їх десяткове значення.

Історія

Восьмічна система бере свій початок ще в давнину, коли люди використовували руки для підрахунку тварин від восьми до восьми.

Наприклад, щоб підрахувати кількість корів у стайні, одну почали рахувати правою рукою, з'єднавши великий палець з мізинцем; Потім, для підрахунку другої тварини, великий палець з'єднували вказівним пальцем і так далі з пальцями, що залишилися кожної руки, до 8-ти.

Існує ймовірність, що в давні часи восьмерична система нумерації використовувалася перед десятковою, щоб можна було рахувати міжпальцеві пробіли; тобто порахуйте всі пальці, крім великих пальців.

Пізніше була встановлена ​​восьмерична система нумерації, яка походить від двійкової системи, оскільки їй потрібно багато цифр, щоб представити лише одне число; з цього моменту були створені восьмерична та шестикутна системи, які не потребують такої кількості цифр і легко можуть бути перетворені у двійкову систему.

Восьмічна система нумерації

Вісімкова система складається з восьми цифр, що мають значення від 0 до 7. Вони мають те саме значення, що і у випадку десяткової системи, але їх відносне значення змінюється залежно від положення, яке вони займають. Значення кожної позиції визначається повноваженнями бази 8.

Позиції цифр у восьмеричному числі мають такі ваги:

8 ⁴ , 8 ³ , 8 ² , 8 ¹ , 8 ⁰ , вісімкова точка, 8 ^-1 , 8 ^-2 , 8 ^-3 , 8 ^-4 , 8 ^-5 .

Найбільша восьмерична цифра - 7; Таким чином, при підрахунку в цій системі положення цифри збільшується від 0 до 7. Коли досягається 7, вона переробляється до 0 для наступного підрахунку; таким чином збільшується позиція наступної цифри. Наприклад, для підрахунку послідовностей, у восьмеричній системі це буде:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Існує фундаментальна теорема, яка застосовується до восьмеричної системи, і вона виражається наступним чином:

У цьому виразі di являє собою цифру, помножену на потужність бази 8, яка вказує значення місця кожної цифри так само, як вона впорядкована в десятковій системі.

Наприклад, у вас число 543.2. Щоб привести його до восьмеричної системи, він розбивається так:

N = ∑ = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0,125)

N = 320 +32 + 2 + 0,25 = 354 + 0,25 _д

Таким чином, маємо 543,2 _q = 354,25 _d . Підрядник q вказує, що це вісімкове число, яке також може бути представлене числом 8; а підпис d посилається на десяткове число, яке також може бути представлене числом 10.

Перетворення з восьмеричної в десяткову систему

Щоб перетворити число з восьмеричної системи в його еквівалент у десятковій системі, просто помножте кожну восьмеричну цифру на її місцеве значення, починаючи справа.

Приклад 1

732 ₈ = (7 _* 8 ² ) + (3 _* 8 ¹ ) + (2 _* 8 ⁰ ) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

Приклад 2

26,9 ₈ = (2 _* 8 ¹ ) + (6 _* 8 ⁰ ) + (9 _* 8 ^-1 ) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0,125)

26,9 ₈ = 16 + 6 + 1,125

26,9 ₈ = 23,125 ₁₀

Перетворення від десяткової до восьмеричної системи

Десяткове ціле число можна перетворити на вісімкове число за допомогою методу повторного поділу, де десяткове ціле число ділиться на 8, поки коефіцієнт не дорівнює 0, а залишки кожного ділення будуть представляти вісімкове число.

Залишки впорядковані від останнього до першого; тобто перша решта буде найменш значущою цифрою восьмеричного числа. Таким чином, найбільш значущою цифрою буде остання залишок.

Приклад

Десяткове число Октал 266 ₁₀

- Ділимо десяткове число 266 на 8 = 266/8 = 33 + залишок 2.

- Тоді розділіть 33 на 8 = 33/8 = 4 + залишок 1.

- Розділіть 4 на 8 = 4/8 = 0 + залишок 4.

Як і в останньому поділі, отримано коефіцієнт менший за 1, це означає, що результат був знайдений; Ви повинні замовити залишки в зворотному порядку, таким чином, щоб вісімкове число десятків 266 було 412, як це видно на наступному зображенні:

Перетворення з восьмеричної в двійкову систему

Перетворення з восьмеричного в двійкове здійснюється шляхом перетворення восьмеричної цифри в її еквівалентну двійкову цифру, що складається з трьох цифр. Існує таблиця, яка показує, як перетворюються вісім можливих цифр:

З цих перетворень будь-яке число від восьмеричної системи до двійкового може бути змінено, наприклад, для перетворення числа 572 _8, шукаємо його еквіваленти в таблиці. Таким чином, ви повинні:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Тому 572 ₈ еквівалентно у двійковій системі 10111110.

Перетворення з двійкового в восьмеричне

Процес перетворення двійкових цілих чисел у вісімкові цілі числа є зворотним явищем попереднього процесу.

Тобто, біти двійкового числа групуються у дві групи по три біти, починаючи справа наліво. Потім перетворення від двійкового до восьмеричного здійснюється за допомогою таблиці вище.

У деяких випадках двійкове число не матиме груп з 3 біт; щоб завершити його, зліва від першої групи додаються одна або дві нулі.

Наприклад, щоб змінити двійкове число 11010110 на вісімкове, виконайте наступне:

- Групи з 3 біт формуються, починаючи з правого (останнього біта):

11010110

- Оскільки перша група неповна, додається провідний нуль:

011010110

- Перетворення проводиться з таблиці:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Таким чином, двійкове число 011010110 дорівнює 326 ₈ .

Перетворення з восьмеричного в шістнадцяткове і навпаки

Щоб змінити вісімкове число на шістнадцяткову систему або з шістнадцяткової на вісімкову, потрібно спершу перетворити число у двійкову, а потім у потрібну систему.

Для цього існує таблиця, де кожна шістнадцяткова цифра представлена ​​з її еквівалентом у двійковій системі, що складається з чотирьох цифр.

У деяких випадках двійкове число не матиме груп із 4 біт; щоб завершити його, зліва від першої групи додаються одна або дві нулі

Приклад

Перетворіть восьмеричне число 1646 у шістнадцяткове число:

- Перетворити число з восьмеричного в двійкове

1 ₈ = 1

6 ₈ = 110

4 ₈ = 100

6 ₈ = 110

- Отже, 1646 ₈ = 1110100110.

- Для перетворення з двійкового в шістнадцятковий їх спочатку впорядковують у групі з 4 біт, починаючи справа наліво:

11 1010 0110

- Перша група завершена нулями, так що вона може мати 4 біти:

0011 1010 0110

- Перетворення з двійкового в шістнадцяткове. Еквіваленти замінюються за допомогою таблиці:

0011 = 3

1010 = А

0110 = 6

Таким чином, восьмеричне число 1646 дорівнює 3A6 в шістнадцятковій системі.

Список літератури

1. Брессан, А.Є. (1995). Вступ до систем нумерації. Аргентинський університет компанії.
2. Харріс, ЮН (1957). Ознайомлення з бінарними та восьмеричними системами нумерації: Лексінгтон, штат Массачусетс, Агентство технічної інформації про озброєння.
3. Кумар, А. А. (2016). Основи цифрових схем. Навчання Pvt.
4. Періс, XC (2009). Єдині операційні системи.
5. Рональд Дж. Точчі, штат Нью-Йорк (2003). Цифрові системи: принципи та застосування. Пірсон освіта.