ТЕОРЕМА ПРО КАЗКИ МІЛЕТА: ПЕРШЕ, ДРУГЕ ТА ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Перша і друга теореми Фалеса Мілета засновані на визначенні трикутників з подібних (перша теорема) або з кіл (друга теорема). Вони були дуже корисні в різних областях. Наприклад, перша теорема була дуже корисною для вимірювання великих конструкцій, коли не було складних вимірювальних приладів.

Фалес Мілетський був грецьким математиком, який надав великий внесок у геометрію, з яких виділяються ці дві теореми (в деяких текстах він також написаний як Фалес) та їх корисні програми. Ці результати використовувались протягом усієї історії і дали змогу вирішити найрізноманітніші геометричні задачі.

Фалес Мілетський

Перша теорема Фалеса

Перша теорема Фалеса - це дуже корисний інструмент, який, крім усього іншого, дозволяє нам побудувати трикутник, подібний до іншого, раніше відомого. Звідси виводяться різні версії теореми, які можна застосовувати у різних контекстах.

Перш ніж давати вашу заяву, згадаймо деякі поняття подібності трикутників. По суті два трикутники схожі, якщо їх кути збігаються (у них однакова міра). Це призводить до того, що якщо два трикутника схожі, їх відповідні (або гомологічні) сторони пропорційні.

Перша теорема Фалеса стверджує, що якщо лінія буде проведена паралельно будь-якій із її сторін у заданому трикутнику, отриманий новий трикутник буде подібний до початкового трикутника.

Отримується також співвідношення між утвореними кутами, як показано на наступному малюнку.

Застосування

Серед його багатьох застосувань особливий інтерес виділяється і пов’язаний із одним із способів вимірювання великих споруд ще в античності, часів, коли жив Фалес і в якому не було сучасних вимірювальних приладів, які вони існують і зараз.

Кажуть, що саме так Фалесу вдалося виміряти найвищу піраміду в Єгипті Хеопс. Для цього Фалес припускав, що відбиття сонячних променів торкаються землі, утворюючи паралельні лінії. За цим припущенням він вбив вертикально в землю палицю або тростину.

Потім він використав схожість двох результуючих трикутників, одного утвореного довжиною тіні піраміди (яку можна легко обчислити) та висоти піраміди (невідомо), а іншого, утвореного довжиною тіні і висоту стрижня (що також можна легко обчислити).

Використовуючи пропорційність між цими довжинами, висоту піраміди можна вирішити і знати.

Хоча цей метод вимірювання може дати значну похибку наближення щодо точності висоти і залежить від паралельності сонячних променів (що в свою чергу залежить від точного часу), слід визнати, що це дуже геніальна ідея і що це дало хорошу альтернативу вимірюванню для того часу.

Приклади

Знайдіть значення x у кожному випадку:

Друга теорема Фалеса

Друга теорема Фалеса визначає правильний трикутник, вписаний у коло в кожній точці однакової.

Трикутник, вписаний в окружність, - це трикутник, вершини якого знаходяться на окружності, залишаючись таким чином у ньому.

Зокрема, друга теорема Талеса констатує наступне: з огляду на окружність центру O і діаметр змінного струму кожна точка B окружності (крім A і C) визначає прямий трикутник ABC, з прямим кутом

Для обґрунтування зазначимо, що і OA, і OB, і OC відповідають радіусу окружності; тому їх вимірювання однакові. З цього випливає, що трикутники OAB і OCB є рівнобедреними, де

Відомо, що сума кутів трикутника дорівнює 180º. Використовуючи це з трикутником ABC, маємо:

2b + 2a = 180º.

Рівно, маємо, що b + a = 90º і b + a =

Зауважимо, що правильний трикутник, наданий другою теоремою Фалеса, є саме тим, чия гіпотенуза дорівнює діаметру окружності. Тому він повністю визначається півколо, яке містить точки трикутника; у цьому випадку верхній півколо.

Зауважимо також, що у правильному трикутнику, отриманому за допомогою другої теореми Фалеса, гіпотенуза ділиться на дві рівні частини на ОА та ОС (радіус). У свою чергу, ця міра дорівнює відрізку OB (також радіусу), що відповідає медіані трикутника ABC від B.

Іншими словами, довжина медіани правильного трикутника ABC, що відповідає вершині B, повністю визначається половиною гіпотенузи. Нагадаємо, що медіана трикутника - відрізок від однієї з вершин до середини протилежної сторони; в цьому випадку сегмент BO.

Обведений обхват

Інший спосіб дивитися на другу теорему Фалеса - через окружність, обписану правим трикутником.

Взагалі окружність, приписана багатокутнику, складається з окружності, яка проходить через кожну її вершину, коли це можливо намалювати.

Використовуючи другу теорему Талеса, задану правильний трикутник, ми завжди можемо побудувати окружене до нього окружність з радіусом, рівним половині гіпотенузи та окружним центром (центром окружності), рівним середній точці гіпотенузи.

Застосування

Дуже важливим застосуванням другої теореми Фалеса і, можливо, найбільш широко використовуваною є пошук дотичних прямих до даного кола через точку Р, зовнішня до нього (відома).

Зауважте, що з урахуванням кола (намальованого синім кольором на малюнку нижче) та зовнішньої точки Р є дві дотичні до кола кола, які проходять через П. Нехай Т і Т '- точки дотику, r радіус кола та Або центр.

Відомо, що відрізок, який йде від центру кола до точки однакової дотику, перпендикулярний цій дотичній лінії. Отже, кут ОТП є правильним.

З того, що ми бачили раніше в першій теоремі Талеса та її різних версіях, ми бачимо, що можна вписати трикутник OTP в інше коло (червоним кольором).

Аналогічно, виходить, що трикутник OT'P можна вписати в межах тієї ж попередньої окружності.

З другої теореми Талеса ми також отримуємо, що діаметр цієї нової окружності є саме гіпотенузою трикутника ОТР (що дорівнює гіпотенузі трикутника ОТ'П), а центр - середина цієї гіпотенузи.

Для обчислення центру нової окружності достатньо обчислити середню точку між центром - скажімо, М - початкової окружності (яку ми вже знаємо) та точкою Р (яку ми також знаємо). Тоді радіус буде відстань між цією точкою М і Р.

З радіусом і центром червоного кола ми можемо знайти його декартове рівняння, яке ми пам’ятаємо, задане (xh) ² + (yk) ² = c ² , де c - радіус, а точка (h, k) - центр окружності.

Знаючи тепер рівняння обох кіл, ми можемо перетинати їх, розв’язуючи сформовану ними систему рівнянь, отримуючи тим самим точки дотику T і T '. Нарешті, щоб знати потрібні дотичні лінії, досить знайти рівняння прямих, які проходять через Т і Р, і через Т 'і Р.

Приклад

Розглянемо окружність діаметра змінного струму, центр O та радіус 1 див. Нехай B - точка на окружності, така що AB = AC. Наскільки високий AB?

Рішення

За другою теоремою Фалеса ми маємо, що трикутник АВС є правильним, а гіпотенуза відповідає діаметру, який у даному випадку вимірює 2 см (радіус 1 см). Тоді за теоремою Піфагора маємо:

Список літератури

1. Ана Ліра, PJ (2006). Геометрія та тригонометрія. Запопан, Яліско: Ediciones Umbral.
2. Гудман, А., Гірш, Л. (1996). Алгебра та тригонометрія з аналітичною геометрією. Пірсон освіта.
3. Gutiérrez, Á. ДО. (2004). Методика та застосування математики в Міністерстві освіти ЄС.
4. ІГЕР. (2014). Математика Другий семестр Закулеу. Гватемала: ІГЕР.
5. Хосе Хіменес, LJ (2006). Математика 2. Запопан, Яліско: Едікіонес Умбрал.
6. М., С. (1997). Тригонометрія та аналітична геометрія. Пірсон освіта.
7. Перес, М. А. (2009). Історія математики: виклики та перемоги через її характер. Редакційне бачення Libros.
8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Плоска аналітична геометрія. Редакція Венезолана Каліфорнія