ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА: ВИЗНАЧЕННЯ, ІСТОРІЯ ТА ДЛЯ ЧОГО ЦЕ - МАТЕМАТИКА - 2024

Перетворення Лапласа був в останні роки великого значення в інженерних дослідженнях, математика, фізика, серед інших наукових областей, а також є великим інтересом в теорії, забезпечує простий спосіб вирішення проблем, що виникають з науки та техніки.

Спочатку трансформація Лапласа була представлена ​​П'єром-Сімоном Лапласом у своєму дослідженні з теорії ймовірностей і спочатку трактувалася як математичний об'єкт, що представляє суто теоретичний інтерес.

Поточні додатки виникають, коли різні математики намагалися дати формальне обґрунтування "правилам експлуатації", якими користується Хевісайд при вивченні рівнянь електромагнітної теорії.

Визначення

Нехай f - функція, визначена для t ≥ 0. Перетворення Лапласа визначається так:

Кажуть, що трансформація Лапласа існує, якщо попередній інтеграл сходиться, інакше, як кажуть, трансформація Лапласа не існує.

Взагалі, малі літери використовуються для позначення функції, що перетворюється, а велика літера відповідає її перетворенню. Таким чином у нас буде:

Приклади

Розглянемо постійну функцію f (t) = 1. Маємо її перетворення таке:

Кожен раз, коли інтеграл сходить, тобто коли s> 0. Інакше s <0, інтеграл розходиться.

Нехай g (t) = t. Його трансформація Лапласа задається методом

Інтегруючи по частинах і знаючи, що te ^-st має тенденцію до 0, коли t прагне до нескінченності і s> 0, разом з попереднім прикладом ми маємо:

Перетворення може бути або не існувати, наприклад, для функції f (t) = 1 / t інтеграл, який визначає його перетворення Лапласа, не конвергується, і тому його перетворення не існує.

Достатньою умовою для гарантії існування трансформації Лапласа функції f є те, що f кусочно неперервне для t ≥ 0 і має експоненціальний порядок.

Кажуть, що функція є кусочно неперервною для t ≥ 0, коли для будь-якого інтервалу з a> 0 існує кінцеве число точок t _k, де f має розриви і є безперервним у кожному підінтервалі.

З іншого боку, функція називається експоненціальним порядком c, якщо існують реальні константи M> 0, c і T> 0 такі:

Як приклади ми маємо, що f (t) = t ² є експоненціальним порядком, оскільки -t ² - <e ^3t для всіх t> 0.

Формально ми маємо таку теорему

Теорема (достатні умови існування)

Якщо f - неперервна функція для t> 0 і експоненціального порядку c, то для s> c існує перетворення Лапласа.

Важливо зазначити, що це умова достатності, тобто може статися так, що існує функція, яка не відповідає цим умовам, і навіть тому її перетворення Лапласа існує.

Прикладом цього є функція f (t) = t ^-1/2, яка не є ^{кусочно} неперервною для t ≥ 0, але існує її перетворення Лапласа.

Перетворення Лапласа деяких основних функцій

Наступна таблиця показує перетворення Лапласа найпоширеніших функцій.

Історія

Трансформація Лапласа зобов'язана своїм ім'ям П'єру-Саймону Лапласу, французькому математику та астроному-теоретику, який народився в 1749 році та помер у 1827 році. Його слава була такою, що його знали як Ньютона Франції.

У 1744 році Леонард Ейлер присвятив свої дослідження інтегралам із формою

як рішення звичайних диференціальних рівнянь, але він швидко відмовився від цього дослідження. Пізніше Джозеф Луї Лагранж, який дуже захоплювався Ейлером, також досліджував ці типи інтегралів і пов'язував їх з теорією ймовірностей.

1782, Лаплас

У 1782 р. Лаплас почав вивчати такі інтеграли, як рішення диференціальних рівнянь, і на думку істориків, у 1785 р. Він вирішив переформулювати проблему, що згодом породило перетворення Лапласа, як їх розуміють сьогодні.

Будучи впровадженим у поле теорії ймовірностей, він тоді мало цікавив вчених і розглядався лише як математичний об'єкт, який представляв лише теоретичний інтерес.

Олівер Хевісайд

Саме в середині 19 століття англійський інженер Олівер Хевісайд виявив, що диференціальні оператори можуть трактуватися як алгебраїчні змінні, завдяки чому Лаплас перетворює їх сучасне застосування.

Олівер Хевісайд був англійським фізиком, інженером-електриком і математиком, який народився в Лондоні в 1850 році і помер у 1925 році. Намагаючись вирішити задачі диференціального рівняння, застосовані до теорії вібрацій, використовуючи дослідження Лапласа, він почав формувати Сучасні програми перетворень Лапласа.

Результати, представлені Хевісайдом, швидко поширилися в науковій спільноті того часу, але оскільки його робота не була суворою, його швидко критикували більш традиційні математики.

Однак корисність роботи Хевісайда у вирішенні рівнянь з фізики зробила його методи популярними серед фізиків та інженерів.

Незважаючи на ці невдачі та через кілька десятиліть невдалої спроби, на початку 20 століття можна було дати жорстке обґрунтування оперативним правилам, наданим Heaviside.

Ці спроби дали плоди завдяки зусиллям різних математиків, таких як Бромвіч, Карсон, ван дер Пол, серед інших.

Властивості

Серед властивостей трансформації Лапласа виділяються наступні:

Лінійність

Нехай c1 і c2 - константи і функції f (t) і g (t), перетвореннями Лапласа яких F (s) і G (s) відповідно, маємо:

Завдяки цій властивості, як вважається, перетворення Лапласа є лінійним оператором.

Приклад

Перша теорема перекладу

Якщо трапиться так:

І "a" - це будь-яке дійсне число, тому:

Приклад

Оскільки перетворення Лапласа cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), то:

Друга теорема перекладу

Так

Так

Приклад

Якщо f (t) = t ^ 3, то F (s) = 6 / s ^ 4. І тому перетворення о

є G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Зміна масштабу

Так

І "a" - це ненульова реальність, ми повинні

Приклад

Оскільки перетворення f (t) = sin (t) є F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), маємо, що

Перетворення Лапласа похідних

Якщо f, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ є неперервними для t ≥ 0 і мають експоненціальний порядок, а f ⁽ⁿ⁾ (t) кусково-неперервний для t ≥ 0, то

Перетворення інтегралів Лапласа

Так

Так

Множення на t

Якщо нам доведеться

Так

Поділ на t

Якщо нам доведеться

Так

Періодичні функції

Нехай f - періодична функція з періодом T> 0, тобто f (t + T) = f (t), тоді

Поведінка F (s) як s прагне до нескінченності

Якщо f є суцільним у частинах і експоненціальному порядку, і

Так

Зворотні перетворення

Коли ми застосуємо перетворення Лапласа до функції f (t), отримаємо F (s), що представляє це перетворення. Таким же чином можна сказати, що f (t) - зворотне перетворення Лапласа F (s) і записується як

Ми знаємо, що перетворення Лапласа f (t) = 1 і g (t) = t є F (s) = 1 / s і G (s) = 1 / s ² відповідно, тому маємо, що

Деякі поширені зворотні перетворення Лапласа такі

Крім того, обернене перетворення Лапласа лінійне, тобто це правда

Вправа

Знайдіть

Щоб вирішити цю вправу, ми повинні співставити функцію F (s) з однією з попередньої таблиці. У цьому випадку, якщо ми беремо + 1 = 5 і, використовуючи властивість лінійності зворотного перетворення, множимо і ділимо на 4! Отримання

Для другого зворотного перетворення застосовуємо часткові дроби, щоб переписати функцію F (s), а потім властивість лінійності, отримуючи

Як ми бачимо з цих прикладів, загальним є те, що функція F (s), що оцінюється, точно не відповідає жодній із функцій, наведених у таблиці. Для цих випадків, як видно, досить переписати функцію, поки вона не досягне відповідної форми.

Застосування перетворення Лапласа

Диференціальні рівняння

Основне застосування перетворень Лапласа - це рішення диференціальних рівнянь.

Використовуючи властивість перетворення похідної, зрозуміло, що

Y похідних n-1 оцінюється при t = 0.

Ця властивість робить перетворення дуже корисним для вирішення задач з початковим значенням, коли задіяні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами.

Наступні приклади показують, як використовувати перетворення Лапласа для вирішення диференціальних рівнянь.

Приклад 1

З огляду на наступну задачу про початкове значення

Використовуйте перетворення Лапласа, щоб знайти рішення.

Застосовуємо перетворення Лапласа до кожного члена диференціального рівняння

За властивістю перетворення похідної маємо

Розвиваючи весь вираз і очищаючи Y (и), які ми маємо

Використовуючи часткові дроби, щоб переписати праву частину отриманого рівняння

Нарешті, наша мета - знайти функцію y (t), яка задовольняє диференціальне рівняння. Використання зворотного перетворення Лапласа дає нам результат

Приклад 2

Вирішити

Як і в попередньому випадку, ми застосовуємо перетворення з обох сторін рівняння та окремий доданок за терміном.

Таким чином ми маємо як результат

Підстановка заданими початковими значеннями та розв’язування для Y (s)

Використовуючи прості дроби, ми можемо переписати рівняння наступним чином

І застосування зворотного перетворення Лапласа дає нам результат

У цих прикладах можна помилково зробити висновок, що цей метод не набагато кращий, ніж традиційні методи розв’язання диференціальних рівнянь.

Переваги трансформації Лапласа полягають у тому, що вам не потрібно використовувати зміну параметрів або турбуватися про різні випадки методу невизначеного коефіцієнта.

Крім того, при вирішенні задач початкової величини цим методом ми з самого початку використовуємо початкові умови, тому для пошуку конкретного рішення не потрібно проводити інші обчислення.

Системи диференціальних рівнянь

Перетворення Лапласа також можна використовувати для пошуку рішень одночасних звичайних диференціальних рівнянь, як показано в наступному прикладі.

Приклад

Вирішіть

При початкових умовах x (0) = 8 і y (0) = 3.

Якщо нам доведеться

Так

Вирішення дає нам результат

І застосувавши обернене перетворення Лапласа у нас

Механіка та електричні схеми

Перетворення Лапласа має велике значення у фізиці, воно в основному має застосування для механіки та електричних схем.

Простий електричний ланцюг складається з наступних елементів

Вимикач, акумулятор або джерело, індуктор, резистор та конденсатор. Коли перемикач закритий, виробляється електричний струм, який позначається i (t). Заряд на конденсаторі позначається q (t).

За другим законом Кірхгофа напруга, вироблена джерелом Е в замкнутому контурі, повинна дорівнювати сумі кожного з перепадів напруги.

Електричний струм i (t) пов'язаний із зарядом q (t) на конденсаторі i = dq / dt. З іншого боку, падіння напруги в кожному з елементів визначається наступним чином:

Падіння напруги на резисторі - iR = R (dq / dt)

Падіння напруги через індуктор становить L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

Падіння напруги в конденсаторі дорівнює q / C

За допомогою цих даних та застосувавши другий закон Кірхгофа до простого замкнутого контуру, виходить диференціальне рівняння другого порядку, яке описує систему та дозволяє визначити значення q (t).

Приклад

Індуктор, конденсатор та резистор підключені до батареї Е, як показано на малюнку. Індуктор - 2 грини, конденсатор - 0,02 фара, опір - 16 Ом. У момент t = 0 схема замкнута. Знайдіть заряд і струм у будь-який час t> 0, якщо E = 300 вольт.

Маємо, що диференціальне рівняння, яке описує цю схему, наступне

Там де початкові умови q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Застосовуючи перетворення Лапласа, ми отримуємо це

І розв’язування для Q (t)

Потім, застосувавши обернене перетворення Лапласа у нас

Список літератури

1. Г. Голбрук, Дж. (1987). Перетворення Лапласа для інженерів-електроніків. Лімуса.
2. Руїс, Л.М. та Ернандес, народний депутат (2006 р.). Диференціальні рівняння та перетворення Лапласа з додатками. Редакція UPV.
3. Сіммонс, GF (1993). Диференціальні рівняння з додатками та історичними записками. McGraw-Hill.
4. Шпігель, М.Р. (1991). Перетворення Лапласа. McGraw-Hill.
5. Zill, DG, & Cullen, MR (2008). Диференціальні рівняння з проблемами граничної величини. Cengage Learning Editores, SA