ВЕКТОР: ХАРАКТЕРИСТИКИ ТА ВЛАСТИВОСТІ, ЕЛЕМЕНТИ, ТИПИ, ПРИКЛАДИ - НАУКА - 2025

Ці вектори представляють собою математичні об'єкти , які , в загальному , супроводжувані по величині і напрямку одиниця виміру -positiva- добре. Такі характеристики дуже підходять для опису таких фізичних величин, як швидкість, сила, прискорення та багато іншого.

З векторами можна виконувати такі операції, як складання, віднімання та продукти. Поділ не визначено для векторів, а щодо продукту - це три класи, які ми опишемо пізніше: крапковий продукт чи точка, векторний добуток чи хрест та добуток скаляра за вектором.

Рисунок 1. Елементи вектора. Джерело: Wikimedia Commons.

Щоб повністю описати вектор, необхідно вказати всі його характеристики. Величина або модуль - це числове значення, що супроводжується одиницею, в той час як напрямок і сенс встановлюються за допомогою системи координат.

Давайте подивимось на приклад: припустимо, літак літає з одного міста в інше зі швидкістю 850 км / год у напрямку NE. Тут ми маємо повністю заданий вектор, оскільки наявна величина: 850 км / год, а напрямок та відчуття - НЕ.

Вектори зазвичай представлені графічно орієнтованими відрізками ліній, довжина яких пропорційна величині.

Хоча для вказівки напрямку та сенсу потрібна опорна лінія, яка зазвичай є горизонтальною віссю, хоча північ також може сприйматися як орієнтир, наприклад, швидкість літака:

Малюнок 2. Вектор швидкості. Джерело: Ф. Сапата.

На малюнку показана вектор швидкості літака, позначений як V в жирному шрифті , щоб відрізнити його від скалярної величини, яка вимагає тільки числове значення , і деяких одиниць повинні бути вказано.

Елементи вектора

Як ми вже говорили, елементами вектора є:

-Визначення або модуль, іноді його також називають абсолютним значенням або нормою вектора.

-Адреса

-SSense

У прикладі на малюнку 2 модуль v дорівнює 850 км / год. Модуль позначається як v без жирного шрифту, або як - v -, де смужки представляють абсолютне значення.

Напрямок v заданий відносно північ. У цьому випадку це 45 ° на північ від Сходу (45 ° пн.ш.). Нарешті кінчик стрілки повідомляє про почуття v .

У цьому прикладі походження вектора намальовано збігом з початком O системи координат, це відомо як пов'язаний вектор. З іншого боку, якщо походження вектора не збігається з джерелом системи відліку, то, як кажуть, це вільний вектор.

Слід зазначити, що для повного конкретизації вектора слід зазначити ці три елементи, інакше опис вектора буде неповним.

Прямокутні компоненти вектора

Малюнок 3. Прямокутні компоненти вектора в площині. Джерело: Wikimedia Commons. урантер

На зображенні ми повертаємо наш приклад вектор v , який знаходиться в площині xy.

Неважко помітити, що проекції v на координатні осі x і y визначають правильний трикутник. Ці проекції є v _{y і} v _x і називаються прямокутними компонентами v .

Один із способів позначити v його прямокутними компонентами такий: v =x, v _і >. Ці дужки використовуються замість дужок, щоб підкреслити той факт, що це вектор, а не період, оскільки в цьому випадку використовуються дужки.

Якщо вектор знаходиться в тривимірному просторі, потрібна ще одна складова, щоб:

v =x, v _y , v _z >

Знаючи прямокутні компоненти величина вектора розраховується, що еквівалентно знаходженню гіпотенузи прямокутного трикутника, ноги V _х і V _{і ,.} З теореми Піфагора випливає, що:

Полярна форма вектора

Коли відомі величина вектора - v - і кут θ, який він робить з опорною віссю, як правило, горизонтальною віссю, вектор також задається. Потім, як кажуть, вектор виражається в полярній формі.

Прямокутні компоненти в цьому випадку легко обчислюються:

Згідно з вищезазначеним, прямокутні компоненти вектора швидкості v площини становитимуть:

Типи

Існує кілька типів векторів. Є вектори швидкості, положення, переміщення, сили, електричного поля, імпульсу та багато іншого. Як ми вже говорили, у фізиці існує велика кількість векторних величин.

Стосовно векторів, які мають певні характеристики, можна згадати такі типи векторів:

-Нуль : це вектори, величина яких дорівнює 0 і позначені як 0. Пам'ятайте, що жирна буква символізує три основні характеристики вектора, тоді як звичайна літера являє собою лише модуль.

Наприклад, на тіло в статичній рівновазі сума сил повинна бути нульовим вектором.

- Вільні та пов'язані між собою : вільні вектори - це ті, у яких точки виникнення та прибуття є будь-якою парою точок у площині чи просторі, на відміну від пов'язаних векторів, походження яких збігається з референтною системою, яка використовується для їх опису.

Пара або момент, вироблений парою сил, є хорошим прикладом вільного вектора, оскільки пара не стосується жодної конкретної точки.

- Еквіполенти : це два вільних вектори, які мають однакові характеристики. Тому вони мають однакову величину, напрямок і сенс.

- Копланар або копланар : вектори, що належать одній площині.

- Протилежності : вектори з однаковою величиною та напрямком, але протилежними напрямками. Вектор протилежний вектору v - вектор - v, а сума обох - нульовий вектор: v + (- v ) = 0 .

- Паралельно : вектори, лінії дії яких проходять через одну і ту ж точку.

- Повзунки : це ті вектори, точка застосування яких може ковзати по певній лінії.

- Колінеарні : вектори, які розташовані на одній лінії.

- Унітарна : ті вектори, модуль яких 1.

Ортогональні одиничні вектори

Існує дуже корисний тип вектора у фізиці, який називається ортогональним одиничним вектором. Ортогональний одиничний вектор має модуль, рівний 1, і одиницями може бути будь-який, наприклад, швидкість, положення, сила чи інші.

Існує набір спеціальних векторів, які допомагають легко представляти інші вектори та виконувати операції з ними: вони є ортогональними одиничними векторами i , j та k , одиничними та перпендикулярними один одному.

У двох вимірах ці вектори спрямовані вздовж позитивного напрямку як осі x, так і осі y. І в трьох вимірах додається одиничний вектор у напрямку до позитивної осі z. Вони представлені так:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Вектор можна представити одиничними векторами i , j та k таким чином:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Наприклад, вектор швидкості v у попередніх прикладах можна записати як:

v = 601,04 я + 601,04 J км / год

Компонент в k не є необхідним, оскільки цей вектор знаходиться в площині.

Векторні доповнення

Сума векторів з’являється дуже часто в різних ситуаціях, наприклад, коли потрібно знайти результуючу силу на об'єкт, на який впливають різні сили. Для початку припустимо, що у нас на площині є два вільних вектори u та v , як показано на наступному малюнку зліва:

Малюнок 4. Графічна сума двох векторів. Джерело: Wikimedia Commons. Кабанах Люк.

Він негайно обережно переноситься на вектор v , не змінюючи його величини, напрямку чи сенсу, так що його походження збігається з кінцем u .

Векторна сума називається w і виводиться, починаючи з u, що закінчується v , відповідно до правильного рисунка. Важливо зауважити, що величина вектора w не обов'язково є сумою величин v і u .

Якщо ви продумали це уважно, єдиний раз, коли величина отриманого вектора є сумою величин додавань, коли обидва додавання знаходяться в одному напрямку і мають однаковий сенс.

А що буде, якщо вектори не вільні? Додавати їх також дуже просто. Це можна зробити, додавши компонент до компонента або аналітичний метод.

Як приклад, давайте розглянемо вектори на наступному малюнку, перше, що потрібно виразити їх одним із декартових способів, що були раніше пояснені:

Малюнок 5. Сума двох пов'язаних векторів. Джерело: Wikimedia Commons.

v = <5.1>

u = <2,3>

Для отримання x-складової вектора суми w додайте відповідні x-компоненти v і u : w _x = 5 + 2 = 7. І для отримання w _y дотримується аналогічна процедура: w _y = 1 + 3. Таким чином:

u = <7.4>

Властивості векторного додавання

-Сума двох або більше векторів призводить до іншого вектора.

-Це комутативно, порядок додавань не змінює суму таким чином, що:

u + v = v + u

- Нейтральним елементом суми векторів є нульовий вектор: v + 0 = v

- віднімання двох векторів визначається як сума протилежного: v - u = v + (-u)

Векторні приклади

Як ми вже говорили, у фізиці є численні векторні величини. Серед найвідоміших:

-Позиція

-Розміщення

-Средня швидкість і миттєва швидкість

-Прискорення

-Сила

-Кількість руху

-Торк або момент сили

-Імпульс

-Електричне поле

-Магнітне поле

-Магнітний момент

З іншого боку, вони не вектори, а скаляри:

-Вітер

-Масса

-Температура

-Воломи

-Густота

-Механічна робота

-Енергія

-Так

-Потужність

-Напруга

-Електричний струм

Інші операції між векторами

Окрім додавання та віднімання векторів, існує ще три дуже важливі операції між векторами, оскільки вони породжують нові дуже важливі фізичні величини:

-Продукт скаляра вектором.

-Точковий продукт або крапковий продукт між векторами

-І поперечний або векторний продукт між двома векторами.

Продукт скаляра і вектора

Розглянемо другий закон Ньютона, який говорить, що сила F і прискорення a пропорційні. Константа пропорційності - це маса m об'єкта, отже:

F = m. до

Маса - скаляр; Зі свого боку, сила і прискорення - це вектори. Оскільки сила отримується шляхом множення маси на прискорення, вона є результатом добутку скаляра і вектора.

Цей тип продукції завжди призводить до вектора. Ось ще один приклад: кількість руху. Нехай P - вектор імпульсу, v вектор швидкості, і, як завжди, m - маса:

Р = м. v

Точковий продукт або крапковий продукт між векторами

Ми помістили механічні роботи до переліку кількостей, які не є векторами. Однак робота з фізики є результатом операції між векторами, що називається скалярним продуктом, внутрішнім продуктом або крапковим продуктом.

Нехай вектори v і u визначають крапковий або скалярний добуток між ними як:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Де θ - кут між двома. З наведеного рівняння випливає, що результат крапкового добутку є скалярним, а також, якщо обидва вектора перпендикулярні, то їх точковий добуток дорівнює 0.

Повернувшись до механічної роботи W, це скалярний добуток між вектором сили F і вектором переміщення ℓ .

Коли вектори доступні за своїми компонентами, точковий продукт також дуже легко обчислити. Якщо v =x, v _y , v _z > y u =x, u _y , u _z >, точковий добуток між цими є:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Точковий добуток між векторами є комутативним, тому:

v ∙ u = u ∙ v

Перехресний продукт або векторний продукт між векторами

Якщо v і u є нашими двома прикладними векторами, ми визначаємо векторний добуток як:

v x u = w

Одразу випливає, що перехресний продукт призводить до вектора, модуль якого визначається як:

Де θ - кут між векторами.

Перехресний добуток не комутативний, тому v x u ≠ u x v. Фактично v x u = - (u x v).

Якщо два приклади вектора виражені через одиничні вектори, обчислення векторного добутку полегшується:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Поперечні вироби між одиничними векторами

Поперечний добуток між однаковими одиничними векторами дорівнює нулю, оскільки кут між ними дорівнює 0º. Але між різними одиничними векторами кут між ними 90º, а sin 90º = 1.

Наступна схема допомагає знайти ці продукти. У напрямку стрілки вона має позитивний напрямок, а в зворотному - негативний:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Застосовуючи властивість розподілу, яка все ще діє для продуктів між векторами плюс властивості одиничних векторів, ми маємо:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k ) x (u _x i + u _y j + u _z k ) =

Розв’язані вправи

- Вправа 1

Враховуючи вектори:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Яким повинен бути вектор w, щоб сума v + u + w становила 6 i +8 j -10 k ?

Рішення

Отже, необхідно виконати, що:

Відповідь: w = 9 i +7 j - 18 k

- Вправа 2

Який кут між векторами v і u у вправі 1?

Рішення

Ми будемо використовувати точковий продукт. З визначення, яке ми маємо:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

Підміна цих значень:

Список літератури

1. Фігероа, Д. (2005). Серія: Фізика для науки та техніки. Том 1. Кінематика. Під редакцією Дугласа Фігероа (USB).
2. Джанколі, Д. 2006. Фізика: принципи застосування. 6-й. Ед Прентіс Холл.
3. Рекс, А. 2011. Основи фізики. Пірсон.
4. Сірс, Земанський. 2016. Університетська фізика із сучасною фізикою. 14-а. Видання, том 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Фізика для науки та техніки. Том 1. 7-е. За ред.